Theorem pncan1 10333

Description: Cancellation law for addition and subtraction with 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pncan1	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Proof of Theorem pncan1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		1cnd 9935	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
3	1, 2	pncand 10272	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + 1) − 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-ltxr 9958  df-sub 10147

This theorem is referenced by:  nn0split  12323  nn0disj  12324  elfzom1elp1fzo1  12434  sqoddm1div8  12890  wrdlenccats1lenm1  13252  ccatws1lenrev  13260  ccats1swrdeq  13321  ltoddhalfle  14923  pwp1fsum  14952  flodddiv4  14975  prmop1  15580  cayhamlem1  20490  2lgslem1c  24918  2lgslem3a  24921  2lgslem3c  24923  2lgslem3d  24924  wwlkext2clwwlk  26331  clwwlkextfrlem1  26603  numclwlk2lem2f  26630  poimirlem4  32583  poimirlem10  32589  poimirlem19  32598  poimirlem28  32607  sumnnodd  38697  iccpartgtprec  39958  fmtnom1nn  39982  fmtnorec1  39987  sfprmdvdsmersenne  40058  proththdlem  40068  41prothprmlem1  40072  dfodd6  40088  evenp1odd  40091  perfectALTVlem1  40164  ccats1pfxeq  40284  1wlklenvm1  40826  wwlknp  41045  0enwwlksnge1  41060  1wlkiswwlks1  41064  wspthsnwspthsnon  41122  wspthsnonn0vne  41124  elwspths2spth  41171  wwlksext2clwwlk  41231  av-clwwlkextfrlem1  41509  av-numclwlk2lem2f  41533  altgsumbcALT  41924  fllog2  42160  nnpw2blen  42172  dig2nn1st  42197  nn0sumshdiglemA  42211  nn0sumshdiglemB  42212  aacllem  42356