Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clwwlkextfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clwwlkextfrlem1 26603
 Description: Lemma for numclwwlk2lem1 26629. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkextfrlem1 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋))

Proof of Theorem clwwlkextfrlem1
StepHypRef Expression
1 wwlknimpb 26232 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 simprll 798 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
3 s1cl 13235 . . . . . . . . . . 11 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
433ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
54adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
6 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 nn0p1gt0 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
86, 7syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
983ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → 0 < (𝑁 + 1))
109adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → 0 < (𝑁 + 1))
11 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1211adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1312ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1410, 13mpbird 246 . . . . . . . . 9 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → 0 < (#‘𝑊))
15 ccatfv0 13220 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
162, 5, 14, 15syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
17 simprl 790 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (𝑊‘0) = 𝑋)
1817adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → (𝑊‘0) = 𝑋)
1916, 18eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋)
20 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
23 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
24 pncan1 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
26253ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2822, 27eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 = ((#‘𝑊) − 1))
2928fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
30 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
314adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
329adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 < (𝑁 + 1))
3312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
3432, 33mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 < (#‘𝑊))
35 hashneq0 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3635ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3734, 36mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ≠ ∅)
38 ccatval1lsw 13221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
3930, 31, 37, 38syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
4029, 39eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ( lastS ‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
4140neeq1d 2841 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋))
4241biimpd 218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋))
4342ex 449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))
4443com13 86 . . . . . . . . . 10 (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))
4544adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))
4645com13 86 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))
4746imp32 448 . . . . . . 7 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)
4819, 47jca 553 . . . . . 6 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋))
4948expcom 450 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))
5049exp32 629 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))))
511, 50syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → ((𝑊‘0) = 𝑋 → (( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋 → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))))
52513imp 1249 . 2 ((𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋) → ((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋)))
5352impcom 445 1 (((𝑋𝑉𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍𝑉) ∧ (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋 ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ 𝑋)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = 𝑋 ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   WWalksN cwwlkn 26206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208 This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  26629
 Copyright terms: Public domain W3C validator