Theorem 2lgslem3c 24923

Description: Lemma for 2lgslem3c1 24927. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3c	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Proof of Theorem 2lgslem3c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 5) − 1))
3	2	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2))
4		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 5) / 4))
5	4	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)))
6	3, 5	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
7	1, 6	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))))
8		8nn0 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13		5cn 10977	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 5 ∈ ℂ)
15		1cnd 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	addsubassd 10291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = ((8 · 𝐾) + (5 − 1)))
17		4t2e8 11058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
18	17	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
20	19	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21		4cn 10975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23		2cn 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25		nn0cn 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	22, 24, 25	mul32d 10125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27	20, 26	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28		df-5 10959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 5 = (4 + 1)
29	28	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (5 − 1) = ((4 + 1) − 1)
30		pncan1 10333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (4 ∈ ℂ → ((4 + 1) − 1) = 4)
31	21, 30	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((4 + 1) − 1) = 4
32	29, 31	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (5 − 1) = 4
33	32	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 − 1) = 4)
34	27, 33	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (5 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
35	16, 34	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 4))
36	35	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2))
37		4nn0 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
39	38, 10	nn0mulcld 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
40	39	nn0cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
41	40, 24	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
42		2rp 11713	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
43	42	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
44	43	rpcnne0d 11757	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
45		divdir 10589	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 4 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
46	41, 22, 44, 45	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 4) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)))
47		2ne0 10990	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
48	47	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
49	40, 24, 48	divcan4d 10686	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
50		4d2e2 11061	. . . . . . 7 ⊢ (4 / 2) = 2
51	50	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 / 2) = 2)
52	49, 51	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (4 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 2))
53	36, 46, 52	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 2))
54		4ne0 10994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
55	21, 54	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
56	55	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
57		divdir 10589	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 5 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
58	12, 14, 56, 57	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)))
59		8cn 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
60	59	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
61		div23 10583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
62	60, 25, 56, 61	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
63	18	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
64	23, 21, 54	divcan3i 10650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
65	63, 64	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
66	65	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
67	66	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
68	62, 67	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
69	68	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (5 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
70	58, 69	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 5) / 4) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
71	70	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
72		1lt4 11076	. . . . . 6 ⊢ 1 < 4
73		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
74	73	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
75	74, 10	nn0mulcld 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
76	75	nn0zd 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
77	76	peano2zd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
78		1nn0 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
79	78	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℕ0)
80		4nn 11064	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
81	80	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
82		adddivflid 12481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
83	77, 79, 81, 82	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
84	24, 25	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
85	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
86	22, 85	reccld 10673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 / 4) ∈ ℂ)
87	84, 15, 86	addassd 9941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))))
88	28	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (5 / 4) = ((4 + 1) / 4)
89		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℂ
90	21, 89, 21, 54	divdiri 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 + 1) / 4) = ((4 / 4) + (1 / 4))
91	21, 54	dividi 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 / 4) = 1
92	91	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 / 4) + (1 / 4)) = (1 + (1 / 4))
93	88, 90, 92	3eqtri 2636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (5 / 4) = (1 + (1 / 4))
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (5 / 4) = (1 + (1 / 4)))
95	94	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (1 / 4)) = (5 / 4))
96	95	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
97	87, 96	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (5 / 4)))
98	97	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))))
99	98	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (1 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
100	83, 99	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
101	72, 100	mpbii 222	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (5 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
102	71, 101	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
103	53, 102	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)))
104	75	nn0cnd 11230	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
105	40, 24, 104, 15	addsub4d 10318	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 2) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)))
106		2t2e4 11054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
107	106	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
108	107	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
109	108	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
110	24, 24, 25	mulassd 9942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
111	109, 110	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
112	111	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
113		2txmxeqx 11026	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
114	104, 113	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
115	112, 114	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
116		2m1e1 11012	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
117	116	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 − 1) = 1)
118	115, 117	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (2 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 1))
119	103, 105, 118	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 5) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 5) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
120	7, 119	sylan9eqr 2666	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 5)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  4c4 10949  5c5 10950  8c8 10953  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ⌊cfl 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455

This theorem is referenced by:  2lgslem3c1  24927