Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wspthsnonn0vne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wspthsnonn0vne 41124
 Description: If the set of simple paths of length at least 1 between two vertices is not empty, the two vertices must be different. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
wspthsnonn0vne ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋𝑌)

Proof of Theorem wspthsnonn0vne
Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3890 . . 3 ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌))
2 eqid 2610 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
32wspthnonp 41055 . . . . 5 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)))
42wwlknon 41053 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝𝑁) = 𝑌)))
54adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝𝑁) = 𝑌)))
6 iswwlksn 41041 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ (𝑝 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑝) = (𝑁 + 1))))
7 spthonisspth-av 40956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝𝑓(SPathS‘𝐺)𝑝)
8 sPthisPth 40932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(SPathS‘𝐺)𝑝𝑓(PathS‘𝐺)𝑝)
9 pthis1wlk 40933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(PathS‘𝐺)𝑝𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝)
10 1wlklenvm1 40826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑓(1Walks‘𝐺)𝑝 → (#‘𝑓) = ((#‘𝑝) − 1))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓(PathS‘𝐺)𝑝 → (#‘𝑓) = ((#‘𝑝) − 1))
127, 8, 113syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (#‘𝑓) = ((#‘𝑝) − 1))
13 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑝) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1413eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑓) = ((#‘𝑝) − 1) ↔ (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)))
15 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1))
16 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
17 pncan1 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2015, 19eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (#‘𝑓) = 𝑁)
21 nnne0 10930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → 𝑁 ≠ 0)
2320, 22eqnetrd 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (#‘𝑓) ≠ 0)
24 spthonepeq-av 40958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋 = 𝑌 ↔ (#‘𝑓) = 0))
2524necon3bid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑋𝑌 ↔ (#‘𝑓) ≠ 0))
2623, 25syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1)) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝𝑋𝑌))
2726expcom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝𝑋𝑌)))
2827com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑓) = ((𝑁 + 1) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
2914, 28syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑝) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑓) = ((#‘𝑝) − 1) → (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3029com13 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((#‘𝑓) = ((#‘𝑝) − 1) → ((#‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3112, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((#‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
3231exlimiv 1845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → ((#‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
3332com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑝) = (𝑁 + 1) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
3433adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (WWalkS‘𝐺) ∧ (#‘𝑝) = (𝑁 + 1)) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
356, 34syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3635adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3736adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
3837com12 32 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
39383ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝𝑁) = 𝑌) → (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
4039com12 32 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝𝑁) = 𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
415, 40sylbid 229 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) → (∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝 → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))))
4241impd 446 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌)))
43423impia 1253 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺 ∈ V) ∧ (𝑋 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑌 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑌) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑋(SPathsOn‘𝐺)𝑌)𝑝)) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
443, 43syl 17 . . . 4 (𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
4544exlimiv 1845 . . 3 (∃𝑝 𝑝 ∈ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
461, 45sylbi 206 . 2 ((𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅ → (𝑁 ∈ ℕ → 𝑋𝑌))
4746impcom 445 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑋(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑌) ≠ ∅) → 𝑋𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  1Walksc1wlks 40796  PathScpths 40919  SPathScspths 40920  SPathsOncspthson 40922  WWalkScwwlks 41028   WWalkSN cwwlksn 41029   WWalksNOn cwwlksnon 41030   WSPathsNOn cwwspthsnon 41032 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-spthson 40926  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsnon 41037 This theorem is referenced by:  wspniunwspnon  41130  usgr2wspthons3  41167
 Copyright terms: Public domain W3C validator