Theorem sPthisPth 40932

Description: A simple path is a path (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Oct-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sPthisPth	⊢ (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem sPthisPth

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spthsfval 40928	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (SPathS‘𝐺) = {⟨𝑓, 𝑝⟩ ∣ (𝑓(TrailS‘𝐺)𝑝 ∧ Fun ◡𝑝)})
2	1	brfvopab 6598	. 2 ⊢ (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V))
3		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → 𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃)
4		funres11 5880	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡𝑃 → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
5	4	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))))
6		1e0p1 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 = (0 + 1)
7	6	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1..^(#‘𝐹)) = ((0 + 1)..^(#‘𝐹))
8	7	ineq2i 3773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹)))
9		0z 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		prinfzo0 40363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 ∈ ℤ → ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹))) = ∅)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({0, (#‘𝐹)} ∩ ((0 + 1)..^(#‘𝐹))) = ∅
12	8, 11	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹))) = ∅
13	12	imaeq2i 5383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = (𝑃 “ ∅)
14		ima0 5400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 “ ∅) = ∅
15	13, 14	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅
16		imain 5888	. . . . . . 7 ⊢ (Fun ◡𝑃 → (𝑃 “ ({0, (#‘𝐹)} ∩ (1..^(#‘𝐹)))) = ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))))
17	15, 16	syl5reqr 2659	. . . . . 6 ⊢ (Fun ◡𝑃 → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)
19	3, 5, 18	3jca 1235	. . . 4 ⊢ ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅))
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → ((𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃) → (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
21		issPth 40930	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡𝑃)))
22		isPth 40929	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(PathS‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(TrailS‘𝐺)𝑃 ∧ Fun ◡(𝑃 ↾ (1..^(#‘𝐹))) ∧ ((𝑃 “ {0, (#‘𝐹)}) ∩ (𝑃 “ (1..^(#‘𝐹)))) = ∅)))
23	20, 21, 22	3imtr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝐹 ∈ V ∧ 𝑃 ∈ V) → (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃))
24	2, 23	mpcom 37	1 ⊢ (𝐹(SPathS‘𝐺)𝑃 → 𝐹(PathS‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ^◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℤcz 11254  ..^cfzo 12334  #chash 12979  TrailSctrls 40899  PathScpths 40919  SPathScspths 40920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800  df-trls 40901  df-pths 40923  df-spths 40924

This theorem is referenced by:  sPthis1wlk  40934  spthson  40947  spthonprop  40951  isspthonpth-av  40955  spthonpthon  40957  usgr2trlspth  40967  usgr2pthspth  40968  wspthsnonn0vne  41124