Theorem prinfzo0 40363

Description: The intersection of a half-open integer range and the pair of its outer borders is empty. (Contributed by AV, 9-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
prinfzo0	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem prinfzo0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3 12222	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑀))
2		fznuz 12291	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑀) → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
4	3	3mix1d 1229	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
5		3ianor 1048	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
6		elfzo2 12342	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
7	5, 6	xchnxbir 322	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ↔ (¬ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) ∨ ¬ 𝑁 ∈ ℤ ∨ ¬ 𝑀 < 𝑁))
8	4, 7	sylibr 223	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
9		incom 3767	. . . . 5 ⊢ ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀})
10	9	eqeq1i 2615	. . . 4 ⊢ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅)
11		disjsn 4192	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑀}) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
12	10, 11	bitri 263	. . 3 ⊢ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑀 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
13	8, 12	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
14		fzonel 12352	. . . 4 ⊢ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)
15	14	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
16		incom 3767	. . . . 5 ⊢ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁})
17	16	eqeq1i 2615	. . . 4 ⊢ (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
18		disjsn 4192	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 + 1)..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
19	17, 18	bitri 263	. . 3 ⊢ (({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
20	15, 19	sylibr 223	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
21		df-pr 4128	. . . . 5 ⊢ {𝑀, 𝑁} = ({𝑀} ∪ {𝑁})
22	21	ineq1i 3772	. . . 4 ⊢ ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁))
23	22	eqeq1i 2615	. . 3 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
24		undisj1 3981	. . 3 ⊢ ((({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅) ↔ (({𝑀} ∪ {𝑁}) ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)
25	23, 24	bitr4i 266	. 2 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ↔ (({𝑀} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅ ∧ ({𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅))
26	13, 20, 25	sylanbrc 695	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ({𝑀, 𝑁} ∩ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∨ w3o 1030   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335

This theorem is referenced by:  sPthisPth  40932