Theorem usgr2wspthons3 41167

Description: A simple path of length 2 between two vertices represented as length 3 string corresponds to two adjacent edges in a simple graph. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Mar-2018.) (Revised by AV, 17-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgr2wspthon0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
usgr2wspthon0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgr2wspthons3	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))

Proof of Theorem usgr2wspthons3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2nn 11062	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℕ
2		ne0i 3880	. . . . . 6 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ≠ ∅)
3		wspthsnonn0vne 41124	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ≠ ∅) → 𝐴 ≠ 𝐶)
4	1, 2, 3	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
5		simplr 788	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → 𝐴 ≠ 𝐶)
6		simpll 786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐺 ∈ USGraph )
7		3simpb 1052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
8	7	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
9		simpr 476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → 𝐴 ≠ 𝐶)
10	6, 8, 9	3jca 1235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶))
11		usgr2wspthon0.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
12	11	wpthswwlks2on 41164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))
13	12	eleq2d 2673	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
14	10, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
15	14	biimpa 500	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))
16	5, 15	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))
17	16	exp31 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ≠ 𝐶 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))))
18	17	com13 86	. . . . 5 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)))))
19	4, 18	mpd 15	. . . 4 ⊢ (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
20	19	com12 32	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) → (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
21	13	bicomd 212	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
22	10, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
23	22	biimpd 218	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐶) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
24	23	expimpd 627	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) → ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶)))
25	20, 24	impbid 201	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶))))
26		usgrumgr 40409	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph )
27		usgr2wspthon0.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
28	11, 27	umgrwwlks2on 41161	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
29	26, 28	sylan 487	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶) ↔ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
30	29	anbi2d 736	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸))))
31		3anass 1035	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ({𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
32	30, 31	syl6bbr 277	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐶)) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))
33	25, 32	bitrd 267	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩ ∈ (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐶) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ {𝐴, 𝐵} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝐶} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  {cpr 4127  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℕcn 10897  2c2 10947  ⟨“cs3 13438  Vtxcvtx 25673   UMGraph cumgr 25748  Edgcedga 25792   USGraph cusgr 40379   WWalksNOn cwwlksnon 41030   WSPathsNOn cwwspthsnon 41032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-ac2 9168  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-ac 8822  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-s2 13444  df-s3 13445  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-1wlks 40800  df-wlks 40801  df-wlkson 40802  df-trls 40901  df-trlson 40902  df-pths 40923  df-spths 40924  df-pthson 40925  df-spthson 40926  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035  df-wspthsnon 41037

This theorem is referenced by:  usgr2wspthon  41168