Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  av-clwwlkextfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem av-clwwlkextfrlem1 41509
 Description: Lemma for av-numclwwlk2lem1 41532. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-May-2021.)
Assertion
Ref Expression
av-clwwlkextfrlem1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))

Proof of Theorem av-clwwlkextfrlem1
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 41063 . . . 4 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2 simpll 786 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3 s1cl 13235 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
43adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
54adantl 481 . . . . . . . 8 ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
65adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 nn0p1gt0 11199 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
87adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → 0 < (𝑁 + 1))
98adantl 481 . . . . . . . . 9 ((( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
109adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (𝑁 + 1))
11 breq2 4587 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1211adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1312adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
1410, 13mpbird 246 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → 0 < (#‘𝑊))
15 ccatfv0 13220 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 0 < (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
162, 6, 14, 15syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
17 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1817adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((#‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
20 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
21 pncan1 10333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2322adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2423adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2519, 24eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑁 = ((#‘𝑊) − 1))
2625fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)))
27 simpll 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
284adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺))
298adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (𝑁 + 1))
3012adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
3129, 30mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 0 < (#‘𝑊))
32 hashneq0 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0 < (#‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3332bicomd 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝑊 ≠ ∅ ↔ 0 < (#‘𝑊)))
3631, 35mpbird 246 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑊 ≠ ∅)
37 ccatval1lsw 13221 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
3827, 28, 36, 37syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((#‘𝑊) − 1)) = ( lastS ‘𝑊))
3926, 38eqtr2d 2645 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → ( lastS ‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
4039neeq1d 2841 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ↔ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4140biimpd 218 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4241ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4342com23 84 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4443imp32 448 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))
4516, 44jca 553 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
4645exp32 629 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
471, 46syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))))
4847imp 444 . 2 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0)) → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0))))
4948impcom 445 1 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑍 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑊) ≠ (𝑊‘0))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0) ∧ ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) ≠ (𝑊‘0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  Vtxcvtx 25673   WWalkSN cwwlksn 41029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034 This theorem is referenced by:  av-numclwwlk2lem1  41532
 Copyright terms: Public domain W3C validator