MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flodddiv4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flodddiv4 14975
Description: The floor of an odd integer divided by 4. (Contributed by AV, 17-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
flodddiv4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))

Proof of Theorem flodddiv4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6556 . . . 4 (𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1) → (𝑁 / 4) = (((2 · 𝑀) + 1) / 4))
2 2cnd 10970 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
3 zcn 11259 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
42, 3mulcld 9939 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (2 · 𝑀) ∈ ℂ)
5 1cnd 9935 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
6 4cn 10975 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
7 4ne0 10994 . . . . . . . 8 4 ≠ 0
86, 7pm3.2i 470 . . . . . . 7 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
98a1i 11 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
10 divdir 10589 . . . . . 6 (((2 · 𝑀) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
114, 5, 9, 10syl3anc 1318 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)))
12 2t2e4 11054 . . . . . . . . . 10 (2 · 2) = 4
1312eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 4 = (2 · 2)
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 4 = (2 · 2))
1514oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = ((2 · 𝑀) / (2 · 2)))
16 2ne0 10990 . . . . . . . . 9 2 ≠ 0
1716a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
183, 2, 2, 17, 17divcan5d 10706 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / (2 · 2)) = (𝑀 / 2))
1915, 18eqtrd 2644 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → ((2 · 𝑀) / 4) = (𝑀 / 2))
2019oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) / 4) + (1 / 4)) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2111, 20eqtrd 2644 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (((2 · 𝑀) + 1) / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
221, 21sylan9eqr 2666 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (𝑁 / 4) = ((𝑀 / 2) + (1 / 4)))
2322fveq2d 6107 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
24 iftrue 4042 . . . . . . 7 (2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
2524adantr 480 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (𝑀 / 2))
26 1re 9918 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
27 0le1 10430 . . . . . . . . 9 0 ≤ 1
28 4re 10974 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
29 4pos 10993 . . . . . . . . 9 0 < 4
30 divge0 10771 . . . . . . . . 9 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (1 / 4))
3126, 27, 28, 29, 30mp4an 705 . . . . . . . 8 0 ≤ (1 / 4)
32 1lt4 11076 . . . . . . . . 9 1 < 4
33 recgt1 10798 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4) → (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1))
3428, 29, 33mp2an 704 . . . . . . . . 9 (1 < 4 ↔ (1 / 4) < 1)
3532, 34mpbi 219 . . . . . . . 8 (1 / 4) < 1
3631, 35pm3.2i 470 . . . . . . 7 (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)
37 2z 11286 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℤ
3837a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
39 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℤ)
40 dvdsval2 14824 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
4138, 17, 39, 40syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℤ → (2 ∥ 𝑀 ↔ (𝑀 / 2) ∈ ℤ))
4241biimpac 502 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 / 2) ∈ ℤ)
43 4nn 11064 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ
44 nnrecre 10934 . . . . . . . . 9 (4 ∈ ℕ → (1 / 4) ∈ ℝ)
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . 8 (1 / 4) ∈ ℝ
46 flbi2 12480 . . . . . . . 8 (((𝑀 / 2) ∈ ℤ ∧ (1 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4742, 45, 46sylancl 693 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2) ↔ (0 ≤ (1 / 4) ∧ (1 / 4) < 1)))
4836, 47mpbiri 247 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (𝑀 / 2))
4925, 48eqtr4d 2647 . . . . 5 ((2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
50 iffalse 4045 . . . . . . 7 (¬ 2 ∥ 𝑀 → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
5150adantr 480 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = ((𝑀 − 1) / 2))
52 odd2np1 14903 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀))
53 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1 ∈ ℂ
54 2cnne0 11119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
55 divcan5 10606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2))
5653, 54, 54, 55mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (1 / 2)
57 2t1e2 11053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 · 1) = 2
5857, 12oveq12i 6561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2 · 1) / (2 · 2)) = (2 / 4)
5956, 58eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (1 / 2) = (2 / 4)
6059oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((1 / 2) + (1 / 4)) = ((2 / 4) + (1 / 4))
61 2cn 10968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℂ
6261, 53, 6, 7divdiri 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = ((2 / 4) + (1 / 4))
63 2p1e3 11028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 + 1) = 3
6463oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((2 + 1) / 4) = (3 / 4)
6560, 62, 643eqtr2i 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4)
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → ((1 / 2) + (1 / 4)) = (3 / 4))
6766oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))) = (𝑥 + (3 / 4)))
6867fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))))
69 3re 10971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℝ
70 0re 9919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ ℝ
71 3pos 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 < 3
7270, 69, 71ltleii 10039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ≤ 3
73 divge0 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((3 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 3) ∧ (4 ∈ ℝ ∧ 0 < 4)) → 0 ≤ (3 / 4))
7469, 72, 28, 29, 73mp4an 705 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ≤ (3 / 4)
75 3lt4 11074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 < 4
76 nnrp 11718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
7743, 76ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4 ∈ ℝ+
78 divlt1lt 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((3 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ+) → ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4))
7969, 77, 78mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((3 / 4) < 1 ↔ 3 < 4)
8075, 79mpbir 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) < 1
8174, 80pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)
8269, 28, 7redivcli 10671 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 / 4) ∈ ℝ
83 flbi2 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ (3 / 4) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8482, 83mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥 ↔ (0 ≤ (3 / 4) ∧ (3 / 4) < 1)))
8581, 84mpbiri 247 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + (3 / 4))) = 𝑥)
8668, 85eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))) = 𝑥)
88 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
8988eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 / 2) = (((2 · 𝑥) + 1) / 2))
9037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
91 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℤ)
9290, 91zmulcld 11364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
9392zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
94 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
9554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
96 divdir 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝑥) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
9793, 94, 95, 96syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)))
98 zcn 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
99 2cnd 10970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
10016a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℤ → 2 ≠ 0)
10198, 99, 100divcan3d 10685 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
102101oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) / 2) + (1 / 2)) = (𝑥 + (1 / 2)))
10397, 102eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
10489, 103sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 / 2) = (𝑥 + (1 / 2)))
105104oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)))
106 halfcn 11124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 2) ∈ ℂ
107106a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℂ)
1086, 7reccli 10634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 / 4) ∈ ℂ
109108a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → (1 / 4) ∈ ℂ)
11098, 107, 109addassd 9941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
111110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑥 + (1 / 2)) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
112105, 111eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 / 2) + (1 / 4)) = (𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4))))
113112fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = (⌊‘(𝑥 + ((1 / 2) + (1 / 4)))))
114 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = ((2 · 𝑥) + 1) → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
115114eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → (𝑀 − 1) = (((2 · 𝑥) + 1) − 1))
116 pncan1 10333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 · 𝑥) ∈ ℂ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
11793, 116syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) − 1) = (2 · 𝑥))
118115, 117sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → (𝑀 − 1) = (2 · 𝑥))
119118oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = ((2 · 𝑥) / 2))
120101adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((2 · 𝑥) / 2) = 𝑥)
121119, 120eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = 𝑥)
12287, 113, 1213eqtr4rd 2655 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
123122ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
124123adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
125124rexlimdva 3013 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℤ → (∃𝑥 ∈ ℤ ((2 · 𝑥) + 1) = 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
12652, 125sylbid 229 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑀 → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4)))))
127126impcom 445 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) / 2) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12851, 127eqtrd 2644 . . . . 5 ((¬ 2 ∥ 𝑀𝑀 ∈ ℤ) → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
12949, 128pm2.61ian 827 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)) = (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))))
130129eqcomd 2616 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
131130adantr 480 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘((𝑀 / 2) + (1 / 4))) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
13223, 131eqtrd 2644 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)) → (⌊‘(𝑁 / 4)) = if(2 ∥ 𝑀, (𝑀 / 2), ((𝑀 − 1) / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wrex 2897  ifcif 4036   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  cz 11254  +crp 11708  cfl 12453  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-dvds 14822
This theorem is referenced by:  2lgslem1c  24918
  Copyright terms: Public domain W3C validator