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Theorem fllog2 42160
Description: The floor of the binary logarithm of 2 to the power of an element of a half-open integer interval bounded by powers of 2 is equal to the integer. (Contributed by AV, 31-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
fllog2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)

Proof of Theorem fllog2
StepHypRef Expression
1 nn0z 11277 . . . 4 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℤ)
21adantr 480 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℤ)
3 2rp 11713 . . . . . 6 2 ∈ ℝ+
43a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈ ℝ+)
5 elfzoelz 12339 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
65zred 11358 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → 𝑁 ∈ ℝ)
76adantl 481 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ)
8 elfzo2 12342 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))))
9 eluz2 11569 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ↔ ((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁))
10 2re 10967 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
12 2pos 10989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 2
1312a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 2)
14 expgt0 12755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2) → 0 < (2↑𝐼))
1511, 1, 13, 14syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < (2↑𝐼))
1615adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
17 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
18 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
1918adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
21 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2221ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 ltletr 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((0 ∈ ℝ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2417, 20, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
2516, 24mpand 707 . . . . . . . . . . . . 13 ((((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
2625ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁)))
2726com23 84 . . . . . . . . . . 11 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁)))
28273impia 1253 . . . . . . . . . 10 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
299, 28sylbi 206 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
30293ad2ant1 1075 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
318, 30sylbi 206 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
3231impcom 445 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 0 < 𝑁)
337, 32elrpd 11745 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
34 1ne2 11117 . . . . . . 7 1 ≠ 2
3534necomi 2836 . . . . . 6 2 ≠ 1
3635a1i 11 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ≠ 1)
37 relogbcl 24311 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
384, 33, 36, 37syl3anc 1318 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
3938flcld 12461 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ)
40 eluzelz 11573 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℤ)
41 zltlem1 11307 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
4240, 41sylan 487 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
43 2z 11286 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℤ
44 uzid 11578 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ‘2))
4543, 44ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ (ℤ‘2)
4645a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ (ℤ‘2))
47 eluzelre 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → 𝑁 ∈ ℝ)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
4911, 1, 133jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
50493ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ 𝐼 ∈ ℤ ∧ 0 < 2))
5150, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝐼))
52 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
53183ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑𝐼) ∈ ℝ)
54213ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5552, 53, 54, 23syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((0 < (2↑𝐼) ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁))
5651, 55mpand 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))
57563exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → 0 < 𝑁))))
5857com34 89 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2↑𝐼) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))))
59583imp 1249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((2↑𝐼) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝐼) ≤ 𝑁) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
609, 59sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < 𝑁))
6160imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
6248, 61elrpd 11745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6362adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6410a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
65 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6665adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
6764, 66reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
68 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . 13 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
70 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
71 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1 < 2
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < 2)
7311, 70, 723jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2))
75 expgt1 12760 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < 2) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
77 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
78 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
7978ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
8077, 79posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
8176, 80mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
8269, 81elrpd 11745 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
83 logbleb 24321 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
8446, 63, 82, 83syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ↔ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
853a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ+)
8647adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
8786adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
8861adantlr 747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 0 < 𝑁)
8987, 88elrpd 11745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ+)
9035a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → 2 ≠ 1)
9185, 89, 90, 37syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ∈ ℝ)
9345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ (ℤ‘2))
9411, 65reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
9594, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ)
9611, 70, 72, 75syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 < (2↑(𝐼 + 1)))
97 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
9897, 94posdifd 10493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐼 ∈ ℕ0 → (1 < (2↑(𝐼 + 1)) ↔ 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
9996, 98mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 < ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))
10095, 99elrpd 11745 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+)
10193, 100jca 553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+))
103 relogbzcl 24312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) ∈ ℝ+) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ)
106 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))
107 flwordi 12475 . . . . . . . . . . . . 13 (((2 logb 𝑁) ∈ ℝ ∧ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
10892, 105, 106, 107syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) ∧ (2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))))
109108ex 449 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)))))
11070adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ)
111 logbpw2m1 42159 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ ℕ → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = ((𝐼 + 1) − 1))
113 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℂ)
114 pncan1 10333 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((𝐼 + 1) − 1) = 𝐼)
117112, 116eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) = 𝐼)
118117breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ (⌊‘(2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1))) ↔ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
119109, 118sylibd 228 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → ((2 logb 𝑁) ≤ (2 logb ((2↑(𝐼 + 1)) − 1)) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
12084, 119sylbid 229 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) ∧ 𝐼 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
121120ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
122121com23 84 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 ≤ ((2↑(𝐼 + 1)) − 1) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
12342, 122sylbid 229 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ) → (𝑁 < (2↑(𝐼 + 1)) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)))
1241233impia 1253 . . . . 5 ((𝑁 ∈ (ℤ‘(2↑𝐼)) ∧ (2↑(𝐼 + 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 < (2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
1258, 124sylbi 206 . . . 4 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼))
126125impcom 445 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼)
127 nn0re 11178 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ∈ ℝ)
128 nn0ge0 11195 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐼)
129 flge0nn0 12483 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐼) → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
130127, 128, 129syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℕ0)
131130nn0red 11229 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
132131adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ∈ ℝ)
133127adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ∈ ℝ)
134 flle 12462 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℝ → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
135127, 134syl 17 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℕ0 → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
136135adantr 480 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ 𝐼)
1373a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
138137, 1rpexpcld 12894 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
13935a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 1)
140 relogbcl 24311 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+ ∧ 2 ≠ 1) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
141137, 138, 139, 140syl3anc 1318 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
142141adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ∈ ℝ)
143127leidd 10473 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼𝐼)
144 nnlogbexp 24319 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
14593, 1, 144syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ ℕ0 → (2 logb (2↑𝐼)) = 𝐼)
146143, 145breqtrrd 4611 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℕ0𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
147146adantr 480 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb (2↑𝐼)))
148 elfzole1 12347 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
149148adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ≤ 𝑁)
15045a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 2 ∈ (ℤ‘2))
151138adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2↑𝐼) ∈ ℝ+)
152 logbleb 24321 . . . . . . . 8 ((2 ∈ (ℤ‘2) ∧ (2↑𝐼) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
153150, 151, 33, 152syl3anc 1318 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((2↑𝐼) ≤ 𝑁 ↔ (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁)))
154149, 153mpbid 221 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (2 logb (2↑𝐼)) ≤ (2 logb 𝑁))
155133, 142, 38, 147, 154letrd 10073 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 ≤ (2 logb 𝑁))
156132, 133, 38, 136, 155letrd 10073 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁))
157 flflp1 12470 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑁) ∈ ℝ) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
158133, 38, 157syl2anc 691 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → ((⌊‘𝐼) ≤ (2 logb 𝑁) ↔ 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)))
159156, 158mpbid 221 . . 3 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))
160 zgeltp1eq 39943 . . . 4 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) → (((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1)) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁))))
161160imp 444 . . 3 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(2 logb 𝑁)) ∈ ℤ) ∧ ((⌊‘(2 logb 𝑁)) ≤ 𝐼𝐼 < ((⌊‘(2 logb 𝑁)) + 1))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
1622, 39, 126, 159, 161syl22anc 1319 . 2 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → 𝐼 = (⌊‘(2 logb 𝑁)))
163162eqcomd 2616 1 ((𝐼 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ((2↑𝐼)..^(2↑(𝐼 + 1)))) → (⌊‘(2 logb 𝑁)) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cn 10897  2c2 10947  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  ..^cfzo 12334  cfl 12453  cexp 12722   logb clogb 24302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-logb 24303
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