Theorem 2lgslem3d 24924

Description: Lemma for 2lgslem3d1 24928. (Contributed by AV, 16-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2lgslem2.n	⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem3d	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Proof of Theorem 2lgslem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4)))
2		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 − 1) = (((8 · 𝐾) + 7) − 1))
3	2	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2))
4		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (𝑃 / 4) = (((8 · 𝐾) + 7) / 4))
5	4	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (⌊‘(𝑃 / 4)) = (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)))
6	3, 5	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → (((𝑃 − 1) / 2) − (⌊‘(𝑃 / 4))) = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
7	1, 6	syl5eq 2656	. 2 ⊢ (𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7) → 𝑁 = (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))))
8		8nn0 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℕ0
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℕ0)
10		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℕ0)
11	9, 10	nn0mulcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) ∈ ℂ)
13		7cn 10981	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℂ
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 7 ∈ ℂ)
15		1cnd 9935	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
16	12, 14, 15	addsubassd 10291	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = ((8 · 𝐾) + (7 − 1)))
17		4t2e8 11058	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
18	17	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 = (4 · 2)
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 = (4 · 2))
20	19	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 2) · 𝐾))
21		4cn 10975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℂ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
23		2cn 10968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
25		nn0cn 11179	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℂ)
26	22, 24, 25	mul32d 10125	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 2) · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
27	20, 26	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 · 𝐾) = ((4 · 𝐾) · 2))
28		df-7 10961	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 7 = (6 + 1)
29	28	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (7 − 1) = ((6 + 1) − 1)
30		6cn 10979	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 ∈ ℂ
31		pncan1 10333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (6 ∈ ℂ → ((6 + 1) − 1) = 6)
32	30, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((6 + 1) − 1) = 6
33	29, 32	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 − 1) = 6
34	33	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 − 1) = 6)
35	27, 34	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) + (7 − 1)) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
36	16, 35	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) − 1) = (((4 · 𝐾) · 2) + 6))
37	36	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2))
38		4nn0 11188	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ∈ ℕ0
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ0)
40	39, 10	nn0mulcld 11233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℕ0)
41	40	nn0cnd 11230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) ∈ ℂ)
42	41, 24	mulcld 9939	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ)
43	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 6 ∈ ℂ)
44		2rp 11713	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
45	44	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ+)
46	45	rpcnne0d 11757	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
47		divdir 10589	. . . . . 6 ⊢ ((((4 · 𝐾) · 2) ∈ ℂ ∧ 6 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
48	42, 43, 46, 47	syl3anc 1318	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) + 6) / 2) = ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)))
49		2ne0 10990	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
50	49	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ≠ 0)
51	41, 24, 50	divcan4d 10686	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) · 2) / 2) = (4 · 𝐾))
52		3t2e6 11056	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 · 2) = 6
53	52	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ 6 = (3 · 2)
54	53	oveq1i 6559	. . . . . . . 8 ⊢ (6 / 2) = ((3 · 2) / 2)
55		3cn 10972	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℂ
56	55, 23, 49	divcan4i 10651	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 · 2) / 2) = 3
57	54, 56	eqtri 2632	. . . . . . 7 ⊢ (6 / 2) = 3
58	57	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (6 / 2) = 3)
59	51, 58	oveq12d 6567	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((4 · 𝐾) · 2) / 2) + (6 / 2)) = ((4 · 𝐾) + 3))
60	37, 48, 59	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) = ((4 · 𝐾) + 3))
61		4ne0 10994	. . . . . . . . . 10 ⊢ 4 ≠ 0
62	21, 61	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
63	62	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
64		divdir 10589	. . . . . . . 8 ⊢ (((8 · 𝐾) ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
65	12, 14, 63, 64	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)))
66		8cn 10983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 8 ∈ ℂ
67	66	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
68		div23 10583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((8 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
69	67, 25, 63, 68	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = ((8 / 4) · 𝐾))
70	18	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 / 4) = ((4 · 2) / 4)
71	23, 21, 61	divcan3i 10650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 · 2) / 4) = 2
72	70, 71	eqtri 2632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 / 4) = 2
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (8 / 4) = 2)
74	73	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 / 4) · 𝐾) = (2 · 𝐾))
75	69, 74	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((8 · 𝐾) / 4) = (2 · 𝐾))
76	75	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) / 4) + (7 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
77	65, 76	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((8 · 𝐾) + 7) / 4) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
78	77	fveq2d 6107	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
79		3lt4 11074	. . . . . 6 ⊢ 3 < 4
80		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
82	81, 10	nn0mulcld 11233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℕ0)
83	82	nn0zd 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℤ)
84	83	peano2zd 11361	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ)
85		3nn0 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℕ0)
87		4nn 11064	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℕ
88	87	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℕ)
89		adddivflid 12481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝐾) + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 4 ∈ ℕ) → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
90	84, 86, 88, 89	syl3anc 1318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
91	24, 25	mulcld 9939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
92	55	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
93	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
94	92, 22, 93	divcld 10680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 / 4) ∈ ℂ)
95	91, 15, 94	addassd 9941	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))))
96		4p3e7 11040	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (4 + 3) = 7
97	96	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 7 = (4 + 3)
98	97	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (7 / 4) = ((4 + 3) / 4)
99	21, 55, 21, 61	divdiri 10661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 + 3) / 4) = ((4 / 4) + (3 / 4))
100	21, 61	dividi 10637	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (4 / 4) = 1
101	100	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((4 / 4) + (3 / 4)) = (1 + (3 / 4))
102	98, 99, 101	3eqtri 2636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (7 / 4) = (1 + (3 / 4))
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (7 / 4) = (1 + (3 / 4)))
104	103	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (1 + (3 / 4)) = (7 / 4))
105	104	oveq2d 6565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝐾) + (1 + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
106	95, 105	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4)) = ((2 · 𝐾) + (7 / 4)))
107	106	fveq2d 6107	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))))
108	107	eqeq1d 2612	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((⌊‘(((2 · 𝐾) + 1) + (3 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1) ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
109	90, 108	bitrd 267	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 < 4 ↔ (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1)))
110	79, 109	mpbii 222	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘((2 · 𝐾) + (7 / 4))) = ((2 · 𝐾) + 1))
111	78, 110	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4)) = ((2 · 𝐾) + 1))
112	60, 111	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)))
113	82	nn0cnd 11230	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (2 · 𝐾) ∈ ℂ)
114	41, 92, 113, 15	addsub4d 10318	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) + 3) − ((2 · 𝐾) + 1)) = (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)))
115		2t2e4 11054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 2) = 4
116	115	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 = (2 · 2)
117	116	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 4 = (2 · 2))
118	117	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = ((2 · 2) · 𝐾))
119	24, 24, 25	mulassd 9942	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · 2) · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
120	118, 119	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (4 · 𝐾) = (2 · (2 · 𝐾)))
121	120	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)))
122		2txmxeqx 11026	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 𝐾) ∈ ℂ → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
123	113, 122	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((2 · (2 · 𝐾)) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
124	121, 123	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) = (2 · 𝐾))
125		3m1e2 11014	. . . . 5 ⊢ (3 − 1) = 2
126	125	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (3 − 1) = 2)
127	124, 126	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((4 · 𝐾) − (2 · 𝐾)) + (3 − 1)) = ((2 · 𝐾) + 2))
128	112, 114, 127	3eqtrd 2648	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (((((8 · 𝐾) + 7) − 1) / 2) − (⌊‘(((8 · 𝐾) + 7) / 4))) = ((2 · 𝐾) + 2))
129	7, 128	sylan9eqr 2666	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑃 = ((8 · 𝐾) + 7)) → 𝑁 = ((2 · 𝐾) + 2))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  6c6 10951  7c7 10952  8c8 10953  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℝ⁺crp 11708  ⌊cfl 12453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455

This theorem is referenced by:  2lgslem3d1  24928