Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  proththdlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem proththdlem 40068
Description: Lemma for proththd 40069. (Contributed by AV, 4-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
proththd.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
proththd.k (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
proththd.p (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
Assertion
Ref Expression
proththdlem (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))

Proof of Theorem proththdlem
StepHypRef Expression
1 proththd.p . 2 (𝜑𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
2 proththd.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
3 2nn 11062 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 proththd.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
65nnnn0d 11228 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
74, 6nnexpcld 12892 . . . . . 6 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℕ)
82, 7nnmulcld 10945 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ)
98peano2nnd 10914 . . . 4 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ)
10 1m1e0 10966 . . . . . 6 (1 − 1) = 0
118nngt0d 10941 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (𝐾 · (2↑𝑁)))
1210, 11syl5eqbr 4618 . . . . 5 (𝜑 → (1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)))
13 1red 9934 . . . . . 6 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
148nnred 10912 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℝ)
1513, 13, 14ltsubaddd 10502 . . . . 5 (𝜑 → ((1 − 1) < (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
1612, 15mpbid 221 . . . 4 (𝜑 → 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1))
178nncnd 10913 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ)
18 pncan1 10333 . . . . . . 7 ((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℂ → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
1917, 18syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) = (𝐾 · (2↑𝑁)))
2019oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) = ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2))
21 2z 11286 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℤ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 2 ∈ ℤ)
232nnzd 11357 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ ℤ)
247nnzd 11357 . . . . . . . 8 (𝜑 → (2↑𝑁) ∈ ℤ)
2522, 23, 243jca 1235 . . . . . . 7 (𝜑 → (2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ))
26 iddvdsexp 14843 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 2 ∥ (2↑𝑁))
2722, 5, 26syl2anc 691 . . . . . . 7 (𝜑 → 2 ∥ (2↑𝑁))
28 dvdsmultr2 14859 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑁) ∈ ℤ) → (2 ∥ (2↑𝑁) → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁))))
2925, 27, 28sylc 63 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)))
30 nndivdvds 14827 . . . . . . 7 (((𝐾 · (2↑𝑁)) ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
318, 4, 30syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → (2 ∥ (𝐾 · (2↑𝑁)) ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ))
3229, 31mpbid 221 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 · (2↑𝑁)) / 2) ∈ ℕ)
3320, 32eqeltrd 2688 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)
349, 16, 333jca 1235 . . 3 (𝜑 → (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
35 eleq1 2676 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ↔ ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ))
36 breq2 4587 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (1 < 𝑃 ↔ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1)))
37 oveq1 6556 . . . . . 6 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 − 1) = (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1))
3837oveq1d 6564 . . . . 5 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2))
3938eleq1d 2672 . . . 4 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ↔ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ))
4035, 36, 393anbi123d 1391 . . 3 (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ) ↔ (((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∈ ℕ ∧ 1 < ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) ∧ ((((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) − 1) / 2) ∈ ℕ)))
4134, 40syl5ibrcom 236 . 2 (𝜑 → (𝑃 = ((𝐾 · (2↑𝑁)) + 1) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)))
421, 41mpd 15 1 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑃 ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  cc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  cz 11254  cexp 12722  cdvds 14821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-dvds 14822
This theorem is referenced by:  proththd  40069
  Copyright terms: Public domain W3C validator