Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqf 29781
 Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
Assertion
Ref Expression
sseqf (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
2 wrdf 13165 . . . 4 (𝑀 ∈ Word 𝑆𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆)
4 vex 3176 . . . . . . . . 9 𝑤 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ V)
6 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)) ∈ V
7 df-lsw 13155 . . . . . . . . 9 lastS = (𝑥 ∈ V ↦ (𝑥‘((#‘𝑥) − 1)))
86, 7dmmpti 5936 . . . . . . . 8 dom lastS = V
95, 8syl6eleqr 2699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → 𝑤 ∈ dom lastS )
10 eldifsn 4260 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ (𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅))
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12 inss1 3795 . . . . . . . . . . . 12 (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))) ⊆ Word 𝑆
1311, 12eqsstri 3598 . . . . . . . . . . 11 𝑊 ⊆ Word 𝑆
1413sseli 3564 . . . . . . . . . 10 (𝑤𝑊𝑤 ∈ Word 𝑆)
15 lswcl 13208 . . . . . . . . . 10 ((𝑤 ∈ Word 𝑆𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1614, 15sylan 487 . . . . . . . . 9 ((𝑤𝑊𝑤 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1710, 16sylbi 206 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)
199, 18jca 553 . . . . . 6 ((𝜑𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})) → (𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
2019ralrimiva 2949 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
216, 7fnmpti 5935 . . . . . 6 lastS Fn V
22 fnfun 5902 . . . . . 6 ( lastS Fn V → Fun lastS )
23 ffvresb 6301 . . . . . 6 (Fun lastS → (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆)))
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 (( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ↔ ∀𝑤 ∈ (𝑊 ∖ {∅})(𝑤 ∈ dom lastS ∧ ( lastS ‘𝑤) ∈ 𝑆))
2520, 24sylibr 223 . . . 4 (𝜑 → ( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆)
26 eqid 2610 . . . . 5 (ℤ‘(#‘𝑀)) = (ℤ‘(#‘𝑀))
27 lencl 13179 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
2827nn0zd 11356 . . . . . 6 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
291, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
30 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
31 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
321, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
3332adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
34 elnn0uz 11601 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
3533, 34sylib 207 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0))
36 uztrn 11580 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) ∧ (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0)) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
3731, 35, 36syl2anc 691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ (ℤ‘0))
38 nn0uz 11598 . . . . . . . 8 0 = (ℤ‘0)
3937, 38syl6eleqr 2699 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑎 ∈ ℕ0)
40 fvconst2g 6372 . . . . . . 7 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4130, 39, 40sylancr 694 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
4443, 1, 11, 42sseqmw 29780 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀𝑊)
4542, 44ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
4645s1cld 13236 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆)
47 ccatcl 13212 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
481, 46, 47syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ Word 𝑆)
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V)
50 ccatws1len 13251 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆) → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
511, 45, 50syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) = ((#‘𝑀) + 1))
52 uzid 11578 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (#‘𝑀) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
53 peano2uz 11617 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
5429, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((#‘𝑀) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
5551, 54eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
56 hashf 12987 . . . . . . . . . . . 12 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
57 ffn 5958 . . . . . . . . . . . 12 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
58 elpreima 6245 . . . . . . . . . . . 12 (# Fn V → ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
6049, 55, 59sylanbrc 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
6148, 60elind 3760 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
6261, 11syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
6362adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊)
641adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
6542adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝐹:𝑊𝑆)
6644adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑀𝑊)
6765, 66ffvelrnd 6268 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝐹𝑀) ∈ 𝑆)
68 ccatws1n0 13261 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑀) ∈ 𝑆) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
6964, 67, 68syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅)
70 eldifsn 4260 . . . . . . 7 ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ≠ ∅))
7163, 69, 70sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
7241, 71eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘𝑎) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
73 eqidd 2611 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)))
74 simprl 790 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → 𝑥 = 𝑎)
7574fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
7675s1eqd 13234 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
7774, 76oveq12d 6567 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) ∧ (𝑥 = 𝑎𝑦 = 𝑏)) → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
78 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑎 ∈ V
7978a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ V)
80 vex 3176 . . . . . . . 8 𝑏 ∈ V
8180a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑏 ∈ V)
82 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V
8382a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V)
8473, 77, 79, 81, 83ovmpt2d 6686 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
85 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) → 𝑎𝑊)
8685ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎𝑊)
8713, 86sseldi 3566 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ Word 𝑆)
8842adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝐹:𝑊𝑆)
8988, 86ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
9089s1cld 13236 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆)
91 ccatcl 13212 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ ∈ Word 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
9287, 90, 91syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ Word 𝑆)
93 ccatws1len 13251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
9487, 89, 93syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) = ((#‘𝑎) + 1))
9586, 11syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
96 elin 3758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))) ↔ (𝑎 ∈ Word 𝑆𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
9796simprbi 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))) → 𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
9895, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → 𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
99 elpreima 6245 . . . . . . . . . . . . . . 15 (# Fn V → (𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
10056, 57, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10198, 100sylib 207 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ∈ V ∧ (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
102101simprd 478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
103 peano2uz 11617 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘𝑎) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → ((#‘𝑎) + 1) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
10594, 104eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
106 elpreima 6245 . . . . . . . . . . 11 (# Fn V → ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
10756, 57, 106mp2b 10 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ V ∧ (#‘(𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10883, 105, 107sylanbrc 695 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10992, 108elind 3760 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
110109, 11syl6eleqr 2699 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊)
111 ccatws1n0 13261 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
11287, 89, 111syl2anc 691 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅)
113 eldifsn 4260 . . . . . . 7 ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ↔ ((𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ 𝑊 ∧ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ≠ ∅))
114110, 112, 113sylanbrc 695 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11584, 114eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ (𝑊 ∖ {∅}) ∧ 𝑏 ∈ (𝑊 ∖ {∅}))) → (𝑎(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))𝑏) ∈ (𝑊 ∖ {∅}))
11626, 29, 72, 115seqf 12684 . . . 4 (𝜑 → seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅}))
117 fco2 5972 . . . 4 ((( lastS ↾ (𝑊 ∖ {∅})):(𝑊 ∖ {∅})⟶𝑆 ∧ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶(𝑊 ∖ {∅})) → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
11825, 116, 117syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆)
119 fzouzdisj 12373 . . . 4 ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅
120119a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅)
121 fun 5979 . . 3 (((𝑀:(0..^(#‘𝑀))⟶𝑆 ∧ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))):(ℤ‘(#‘𝑀))⟶𝑆) ∧ ((0..^(#‘𝑀)) ∩ (ℤ‘(#‘𝑀))) = ∅) → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
1223, 118, 120, 121syl21anc 1317 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆))
12343, 1, 11, 42sseqval 29777 . . 3 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹) = (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))))
124 fzouzsplit 12372 . . . . . 6 ((#‘𝑀) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12534, 124sylbi 206 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℕ0 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
1261, 27, 1253syl 18 . . . 4 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
12738, 126syl5eq 2656 . . 3 (𝜑 → ℕ0 = ((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀))))
128 unidm 3718 . . . . 5 (𝑆𝑆) = 𝑆
129128a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝑆𝑆) = 𝑆)
130129eqcomd 2616 . . 3 (𝜑𝑆 = (𝑆𝑆))
131123, 127, 130feq123d 5947 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ↔ (𝑀 ∪ ( lastS ∘ seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})))):((0..^(#‘𝑀)) ∪ (ℤ‘(#‘𝑀)))⟶(𝑆𝑆)))
132122, 131mpbird 246 1 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539  ∅c0 3874  {csn 4125   × cxp 5036  ◡ccnv 5037  dom cdm 5038   ↾ cres 5040   “ cima 5041   ∘ ccom 5042  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  seqcseq 12663  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  seqstrcsseq 29772 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-sseq 29773 This theorem is referenced by:  sseqp1  29784  fibp1  29790
 Copyright terms: Public domain W3C validator