Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sseqp1 29784
 Description: Value of the strong sequence builder function at a successor. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1 (𝜑𝑆 ∈ V)
sseqval.2 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
sseqval.3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
sseqval.4 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
sseqfv2.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
Assertion
Ref Expression
sseqp1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))

Proof of Theorem sseqp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑎 𝑏 𝑖 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.1 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ V)
2 sseqval.2 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ Word 𝑆)
3 sseqval.3 . . 3 𝑊 = (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
4 sseqval.4 . . 3 (𝜑𝐹:𝑊𝑆)
5 sseqfv2.4 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
61, 2, 3, 4, 5sseqfv2 29783 . 2 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)))
7 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑀) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)))
8 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (#‘𝑀) → (0..^𝑖) = (0..^(#‘𝑀)))
98reseq2d 5317 . . . . . . . 8 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))
109fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (#‘𝑀) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀)))))
1110s1eqd 13234 . . . . . . . 8 (𝑖 = (#‘𝑀) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)
129, 11oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑀) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))
137, 12eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)))
1413imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = (#‘𝑀) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))))
15 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
16 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (0..^𝑖) = (0..^𝑛))
1716reseq2d 5317 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))
1817fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑛 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
1918s1eqd 13234 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑛 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)
2017, 19oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
2115, 20eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑛 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
2221imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = 𝑛 → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))))
23 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)))
24 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (0..^𝑖) = (0..^(𝑛 + 1)))
2524reseq2d 5317 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
2625fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
2726s1eqd 13234 . . . . . . . 8 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
2825, 27oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑖 = (𝑛 + 1) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
2923, 28eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
3029imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = (𝑛 + 1) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
31 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁))
32 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 → (0..^𝑖) = (0..^𝑁))
3332reseq2d 5317 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))
3433fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑁 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖))) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
3534s1eqd 13234 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑁 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)
3633, 35oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑁 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
3731, 36eqeq12d 2625 . . . . . 6 (𝑖 = 𝑁 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩) ↔ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
3837imbi2d 329 . . . . 5 (𝑖 = 𝑁 → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑖) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑖)))”⟩)) ↔ (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))))
39 ovex 6577 . . . . . . . 8 (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V
40 lencl 13179 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
412, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑀) ∈ ℕ0)
42 fvconst2g 6372 . . . . . . . 8 (((𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩) ∈ V ∧ (#‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4339, 41, 42sylancr 694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
4440nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Word 𝑆 → (#‘𝑀) ∈ ℤ)
45 seq1 12676 . . . . . . . 8 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)))
462, 44, 453syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(#‘𝑀)))
471, 2, 3, 4sseqfres 29782 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) = 𝑀)
4847fveq2d 6107 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀)))) = (𝐹𝑀))
4948s1eqd 13234 . . . . . . . 8 (𝜑 → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩ = ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)
5047, 49oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩) = (𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩))
5143, 46, 503eqtr4d 2654 . . . . . 6 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩))
5251a1i 11 . . . . 5 ((#‘𝑀) ∈ ℤ → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(#‘𝑀)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(#‘𝑀))))”⟩)))
53 seqp1 12678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
5453adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))))
55 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎𝑥 = 𝑎)
56 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑎 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑎))
5756s1eqd 13234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑎 → ⟨“(𝐹𝑥)”⟩ = ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)
5855, 57oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
59 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑏 → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) = (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
6058, 59cbvmpt2v 6633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩))
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)) = (𝑎 ∈ V, 𝑏 ∈ V ↦ (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩)))
62 simprl 790 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → 𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))
6362fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝐹𝑎) = (𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
6463s1eqd 13234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → ⟨“(𝐹𝑎)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩)
6562, 64oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (𝑎 = (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∧ 𝑏 = ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)))) → (𝑎 ++ ⟨“(𝐹𝑎)”⟩) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
66 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∈ V
6766a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ∈ V)
68 fvex 6113 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)) ∈ V
6968a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1)) ∈ V)
70 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . 13 ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V
7170a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) ∈ V)
7261, 65, 67, 69, 71ovmpt2d 6686 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)(𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩))((ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)})‘(𝑛 + 1))) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
7354, 72eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
7473adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩))
751adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑆 ∈ V)
762adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑀 ∈ Word 𝑆)
774adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝐹:𝑊𝑆)
78 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
7975, 76, 3, 77, 78sseqfv2 29783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛) = ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)))
81 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩))
8281fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)))
831, 2, 3, 4sseqf 29781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
84 fzo0ssnn0 12415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0..^𝑛) ⊆ ℕ0
85 fssres 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ∧ (0..^𝑛) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
8683, 84, 85sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆)
87 iswrdi 13164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)):(0..^𝑛)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8886, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆)
90 elex 3185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V)
9283adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆)
93 eluznn0 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9441, 93sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
9575, 92, 94subiwrdlen 29775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = 𝑛)
9695, 78eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
97 hashf 12987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 #:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞})
98 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (#:V⟶(ℕ0 ∪ {+∞}) → # Fn V)
99 elpreima 6245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (# Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
10097, 98, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10191, 96, 100sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
10289, 101elind 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
103102, 3syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ 𝑊)
10477, 103ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆)
105 lswccats1 13263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) ∈ 𝑆) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
10689, 104, 105syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))))
10880, 82, 1073eqtrrd 2649 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛))) = ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛))
109108s1eqd 13234 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩ = ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩)
110109oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
11175, 92, 94iwrdsplit 29776 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“((𝑀seqstr𝐹)‘𝑛)”⟩))
113110, 81, 1123eqtr4d 2654 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))
114113fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1)))))
115114s1eqd 13234 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩ = ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)
116113, 115oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) ++ ⟨“(𝐹‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛))”⟩) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
11774, 116eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) ∧ (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))
118117ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩)))
119118expcom 450 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (𝜑 → ((seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩) → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
120119a2d 29 . . . . 5 (𝑛 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → ((𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑛) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑛)))”⟩)) → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘(𝑛 + 1)) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^(𝑛 + 1))))”⟩))))
12114, 22, 30, 38, 52, 120uzind4 11622 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)) → (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
1225, 121mpcom 37 . . 3 (𝜑 → (seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁) = (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩))
123122fveq2d 6107 . 2 (𝜑 → ( lastS ‘(seq(#‘𝑀)((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ (𝑥 ++ ⟨“(𝐹𝑥)”⟩)), (ℕ0 × {(𝑀 ++ ⟨“(𝐹𝑀)”⟩)}))‘𝑁)) = ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)))
124 fzo0ssnn0 12415 . . . . 5 (0..^𝑁) ⊆ ℕ0
125 fssres 5983 . . . . 5 (((𝑀seqstr𝐹):ℕ0𝑆 ∧ (0..^𝑁) ⊆ ℕ0) → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
12683, 124, 125sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆)
127 iswrdi 13164 . . . 4 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)):(0..^𝑁)⟶𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
128126, 127syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆)
129 elex 3185 . . . . . . . 8 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
130128, 129syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
131 eluznn0 11633 . . . . . . . . . 10 (((#‘𝑀) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
13241, 5, 131syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1331, 83, 132subiwrdlen 29775 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) = 𝑁)
134133, 5eqeltrd 2688 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))
135 elpreima 6245 . . . . . . . 8 (# Fn V → (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
13697, 98, 135mp2b 10 . . . . . . 7 (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))) ↔ (((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ V ∧ (#‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ (ℤ‘(#‘𝑀))))
137130, 134, 136sylanbrc 695 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀))))
138128, 137elind 3760 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ (Word 𝑆 ∩ (# “ (ℤ‘(#‘𝑀)))))
139138, 3syl6eleqr 2699 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ 𝑊)
1404, 139ffvelrnd 6268 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆)
141 lswccats1 13263 . . 3 ((((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))) ∈ 𝑆) → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
142128, 140, 141syl2anc 691 . 2 (𝜑 → ( lastS ‘(((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁)))”⟩)) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
1436, 123, 1423eqtrd 2648 1 (𝜑 → ((𝑀seqstr𝐹)‘𝑁) = (𝐹‘((𝑀seqstr𝐹) ↾ (0..^𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  {csn 4125   × cxp 5036  ◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  +∞cpnf 9950  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  seqcseq 12663  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  seqstrcsseq 29772 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-sseq 29773 This theorem is referenced by:  fibp1  29790
 Copyright terms: Public domain W3C validator