Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Unicode version

Theorem sseqf 27999
 Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1
sseqval.2 Word
sseqval.3 Word
sseqval.4
Assertion
Ref Expression
sseqf seqstr

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 Word
2 wrdf 12519 . . . 4 Word ..^
31, 2syl 16 . . 3 ..^
4 vex 3116 . . . . . . . . 9
54a1i 11 . . . . . . . 8
6 fvex 5876 . . . . . . . . . 10
7 df-lsw 12509 . . . . . . . . . 10 lastS
86, 7fnmpti 5709 . . . . . . . . 9 lastS
9 fndm 5680 . . . . . . . . 9 lastS lastS
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 lastS
115, 10syl6eleqr 2566 . . . . . . 7 lastS
12 eldifsn 4152 . . . . . . . . 9
13 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 Word
14 inss1 3718 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
1513, 14eqsstri 3534 . . . . . . . . . . 11 Word
1615sseli 3500 . . . . . . . . . 10 Word
17 lswcl 12554 . . . . . . . . . 10 Word lastS
1816, 17sylan 471 . . . . . . . . 9 lastS
1912, 18sylbi 195 . . . . . . . 8 lastS
2019adantl 466 . . . . . . 7 lastS
2111, 20jca 532 . . . . . 6 lastS lastS
2221ralrimiva 2878 . . . . 5 lastS lastS
23 fnfun 5678 . . . . . 6 lastS lastS
24 ffvresb 6052 . . . . . 6 lastS lastS lastS lastS
258, 23, 24mp2b 10 . . . . 5 lastS lastS lastS
2622, 25sylibr 212 . . . 4 lastS
27 eqid 2467 . . . . 5
28 lencl 12528 . . . . . . 7 Word
2928nn0zd 10964 . . . . . 6 Word
301, 29syl 16 . . . . 5
31 ovex 6309 . . . . . . 7 concat
32 simpr 461 . . . . . . . . 9
331, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11
3433adantr 465 . . . . . . . . . 10
35 elnn0uz 11119 . . . . . . . . . 10
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . 9
37 uztrn 11098 . . . . . . . . 9
3832, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8
39 nn0uz 11116 . . . . . . . 8
4038, 39syl6eleqr 2566 . . . . . . 7
41 fvconst2g 6114 . . . . . . 7 concat concat concat
4231, 40, 41sylancr 663 . . . . . 6 concat concat
43 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544, 1, 13, 43sseqmw 27998 . . . . . . . . . . . . . . 15
4643, 45ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . 14
4746s1cld 12578 . . . . . . . . . . . . 13 Word
48 ccatcl 12558 . . . . . . . . . . . . 13 Word Word concat Word
491, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 concat Word
5031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 concat
51 ccatws1len 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word concat
521, 46, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15 concat
53 uzid 11096 . . . . . . . . . . . . . . . 16
54 peano2uz 11134 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5530, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
5652, 55eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . 14 concat
5750, 56jca 532 . . . . . . . . . . . . 13 concat concat
58 hashf 12380 . . . . . . . . . . . . . 14
59 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . 14
60 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . 14 concat concat concat
6158, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13 concat concat concat
6257, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12 concat
6349, 62elind 3688 . . . . . . . . . . 11 concat Word
6463, 13syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . 10 concat
6564ralrimivw 2879 . . . . . . . . 9 concat
6665r19.21bi 2833 . . . . . . . 8 concat
671adantr 465 . . . . . . . . 9 Word
6843adantr 465 . . . . . . . . . 10
6945adantr 465 . . . . . . . . . 10
7068, 69ffvelrnd 6022 . . . . . . . . 9
71 ccatws1n0 12599 . . . . . . . . 9 Word concat
7267, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . 8 concat
7366, 72jca 532 . . . . . . 7 concat concat
74 eldifsn 4152 . . . . . . 7 concat concat concat
7573, 74sylibr 212 . . . . . 6 concat
7642, 75eqeltrd 2555 . . . . 5 concat
77 eqidd 2468 . . . . . . 7 concat concat
78 simprl 755 . . . . . . . 8
7978fveq2d 5870 . . . . . . . . 9
8079s1eqd 12576 . . . . . . . 8
8178, 80oveq12d 6302 . . . . . . 7 concat concat
82 vex 3116 . . . . . . . 8
8382a1i 11 . . . . . . 7
84 vex 3116 . . . . . . . 8
8584a1i 11 . . . . . . 7
86 ovex 6309 . . . . . . . 8 concat
8786a1i 11 . . . . . . 7 concat
8877, 81, 83, 85, 87ovmpt2d 6414 . . . . . 6 concat concat
89 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . 13
9089ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12
9115, 90sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11 Word
9243adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
9392, 90ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . 12
9493s1cld 12578 . . . . . . . . . . 11 Word
95 ccatcl 12558 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat Word
9691, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 concat Word
97 ccatws1len 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 Word concat
9891, 93, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13 concat
9990, 13syl6eleq 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
100 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Word Word
101100simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
103 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10458, 59, 103mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16
105102, 104sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
106105simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14
107 peano2uz 11134 . . . . . . . . . . . . . 14
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
10998, 108eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . 12 concat
11087, 109jca 532 . . . . . . . . . . 11 concat concat
111 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . 12 concat concat concat
11258, 59, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 concat concat concat
113110, 112sylibr 212 . . . . . . . . . 10 concat
11496, 113elind 3688 . . . . . . . . 9 concat Word
115114, 13syl6eleqr 2566 . . . . . . . 8 concat
116 ccatws1n0 12599 . . . . . . . . 9 Word concat
11791, 93, 116syl2anc 661 . . . . . . . 8 concat
118115, 117jca 532 . . . . . . 7 concat concat
119 eldifsn 4152 . . . . . . 7 concat concat concat
120118, 119sylibr 212 . . . . . 6 concat
12188, 120eqeltrd 2555 . . . . 5 concat
12227, 30, 76, 121seqf 12096 . . . 4 concat concat
123 fco2 5742 . . . 4 lastS concat concat lastS concat concat
12426, 122, 123syl2anc 661 . . 3 lastS concat concat
125 fzouzdisj 11829 . . . 4 ..^
126125a1i 11 . . 3 ..^
127 fun 5748 . . 3 ..^ lastS concat concat ..^ lastS concat concat ..^
1283, 124, 126, 127syl21anc 1227 . 2 lastS concat concat ..^
12944, 1, 13, 43sseqval 27995 . . 3 seqstr lastS concat concat
130 fzouzsplit 11828 . . . . . 6 ..^
13135, 130sylbi 195 . . . . 5 ..^
1321, 28, 1313syl 20 . . . 4 ..^
13339, 132syl5eq 2520 . . 3 ..^
134 unidm 3647 . . . . 5
135134a1i 11 . . . 4
136135eqcomd 2475 . . 3
137129, 133, 136feq123d 5721 . 2 seqstr lastS concat concat ..^
138128, 137mpbird 232 1 seqstr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  cvv 3113   cdif 3473   cun 3474   cin 3475  c0 3785  csn 4027   cxp 4997  ccnv 4998   cdm 4999   cres 5001  cima 5002   ccom 5003   wfun 5582   wfn 5583  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286  cc0 9492  c1 9493   caddc 9495   cpnf 9625   cmin 9805  cn0 10795  cz 10864  cuz 11082  ..^cfzo 11792   cseq 12075  chash 12373  Word cword 12500   lastS clsw 12501   concat cconcat 12502  cs1 12503  seqstrcsseq 27990 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-hash 12374  df-word 12508  df-lsw 12509  df-concat 12510  df-s1 12511  df-sseq 27991 This theorem is referenced by:  sseqp1  28002  fibp1  28008
 Copyright terms: Public domain W3C validator