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Theorem sseqf 26797
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
sseqval.2  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
sseqval.3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
sseqval.4  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
Assertion
Ref Expression
sseqf  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables  x  y  a  b  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
2 wrdf 12261 . . . 4  |-  ( M  e. Word  S  ->  M : ( 0..^ (
# `  M )
) --> S )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M : ( 0..^ ( # `  M
) ) --> S )
4 vex 2996 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  w  e.  _V )
6 fvex 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( x `
 ( ( # `  x )  -  1 ) )  e.  _V
7 df-lsw 12251 . . . . . . . . . 10  |- lastS  =  ( x  e.  _V  |->  ( x `  ( (
# `  x )  -  1 ) ) )
86, 7fnmpti 5560 . . . . . . . . 9  |- lastS  Fn  _V
9 fndm 5531 . . . . . . . . 9  |-  ( lastS  Fn  _V  ->  dom lastS  =  _V )
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  dom lastS  =  _V
115, 10syl6eleqr 2534 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  w  e.  dom lastS  )
12 eldifsn 4021 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( W  \  { (/) } )  <->  ( w  e.  W  /\  w  =/=  (/) ) )
13 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
14 inss1 3591 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) 
C_ Word  S
1513, 14eqsstri 3407 . . . . . . . . . . 11  |-  W  C_ Word  S
1615sseli 3373 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  W  ->  w  e. Word  S )
17 lswcl 12291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e. Word  S  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  w )  e.  S
)
1816, 17sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  W  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  w )  e.  S
)
1912, 18sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( W  \  { (/) } )  -> 
( lastS  `  w )  e.  S )
2019adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  ( lastS  `  w )  e.  S
)
2111, 20jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  (
w  e.  dom lastS  /\  ( lastS  `  w )  e.  S
) )
2221ralrimiva 2820 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( W  \  { (/) } ) ( w  e. 
dom lastS  /\  ( lastS  `  w
)  e.  S ) )
23 fnfun 5529 . . . . . 6  |-  ( lastS  Fn  _V  ->  Fun lastS  )
24 ffvresb 5895 . . . . . 6  |-  ( Fun lastS  ->  ( ( lastS  |`  ( W  \  { (/) } ) ) : ( W 
\  { (/) } ) --> S  <->  A. w  e.  ( W  \  { (/) } ) ( w  e. 
dom lastS  /\  ( lastS  `  w
)  e.  S ) ) )
258, 23, 24mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( lastS  |`  ( W  \  { (/)
} ) ) : ( W  \  { (/)
} ) --> S  <->  A. w  e.  ( W  \  { (/)
} ) ( w  e.  dom lastS  /\  ( lastS  `  w
)  e.  S ) )
2622, 25sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( lastS  |`  ( W  \  { (/) } ) ) : ( W  \  { (/) } ) --> S )
27 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( # `  M ) )  =  ( ZZ>= `  ( # `  M ) )
28 lencl 12270 . . . . . . 7  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e. 
NN0 )
2928nn0zd 10766 . . . . . 6  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e.  ZZ )
301, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  ZZ )
31 ovex 6137 . . . . . . 7  |-  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V
32 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
331, 28syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  NN0 )
3433adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  M )  e.  NN0 )
35 elnn0uz 10919 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  M )  e.  NN0  <->  ( # `  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  M )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
37 uztrn 10898 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) )  /\  ( # `  M )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3832, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
a  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
39 nn0uz 10916 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
4038, 39syl6eleqr 2534 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
a  e.  NN0 )
41 fvconst2g 5952 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 a )  =  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )
4231, 40, 41sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 a )  =  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )
43 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
44 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
4544, 1, 13, 43sseqmw 26796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
4643, 45ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
4746s1cld 12315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  <" ( F `
 M ) ">  e. Word  S )
48 ccatcl 12295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e. Word  S  /\  <" ( F `  M ) ">  e. Word  S )  ->  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e. Word  S
)
491, 47, 48syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e. Word  S
)
5031a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V )
51 ccatws1len 12325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( M  e. Word  S  /\  ( F `  M )  e.  S )  -> 
( # `  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )  =  ( ( # `  M
)  +  1 ) )
521, 46, 51syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  =  ( ( # `  M
)  +  1 ) )
53 uzid 10896 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  ( # `  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
54 peano2uz 10929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
# `  M )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) )  ->  (
( # `  M )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
5530, 53, 543syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( # `  M
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) )
5652, 55eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
5750, 56jca 532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
58 hashf 12131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
59 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
60 elpreima 5844 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) ) )
6158, 59, 60mp2b 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
6257, 61sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
6349, 62elind 3561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  (Word 
S  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
6463, 13syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W
)
6564ralrimivw 2821 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. a  e.  (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W )
6665r19.21bi 2835 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W
)
671adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  M  e. Word  S )
6843adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  F : W --> S )
6945adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  M  e.  W )
7068, 69ffvelrnd 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( F `  M
)  e.  S )
71 ccatws1n0 12331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e. Word  S  /\  ( F `  M )  e.  S )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  =/=  (/) )
7267, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  =/=  (/) )
7366, 72jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W  /\  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  =/=  (/) ) )
74 eldifsn 4021 . . . . . . 7  |-  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  ( W  \  { (/) } )  <->  ( ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W  /\  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  =/=  (/) ) )
7573, 74sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  ( W  \  { (/) } ) )
7642, 75eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 a )  e.  ( W  \  { (/)
} ) )
77 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) )
78 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  x  =  a )
7978fveq2d 5716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
8079s1eqd 12313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  <" ( F `  x ) ">  =  <" ( F `  a ) "> )
8178, 80oveq12d 6130 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  (
x concat  <" ( F `
 x ) "> )  =  ( a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )
82 vex 2996 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
8382a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  _V )
84 vex 2996 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  b  e.  _V )
86 ovex 6137 . . . . . . . 8  |-  ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  e.  _V
8786a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  _V )
8877, 81, 83, 85, 87ovmpt2d 6239 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) b )  =  ( a concat  <" ( F `  a ) "> ) )
89 eldifi 3499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  e.  ( W  \  { (/) } )  -> 
a  e.  W )
9089ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  W
)
9115, 90sseldi 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e. Word  S
)
9243adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  F : W --> S )
9392, 90ffvelrnd 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  S
)
9493s1cld 12315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  <" ( F `
 a ) ">  e. Word  S )
95 ccatcl 12295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e. Word  S  /\  <" ( F `  a ) ">  e. Word  S )  ->  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e. Word  S
)
9691, 94, 95syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e. Word  S )
97 ccatws1len 12325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a  e. Word  S  /\  ( F `  a )  e.  S )  -> 
( # `  ( a concat  <" ( F `  a ) "> ) )  =  ( ( # `  a
)  +  1 ) )
9891, 93, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  =  ( ( # `  a
)  +  1 ) )
9990, 13syl6eleq 2533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  (Word 
S  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
100 elin 3560 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )  <->  ( a  e. Word  S  /\  a  e.  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
101100simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )  -> 
a  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
10299, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
103 elpreima 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( a  e.  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) )  <->  ( a  e.  _V  /\  ( # `  a )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) ) )
10458, 59, 103mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( a  e.  _V  /\  ( # `  a )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
105102, 104sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a  e. 
_V  /\  ( # `  a
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
106105simprd 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( # `  a
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
107 peano2uz 10929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
# `  a )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) )  ->  (
( # `  a )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( ( # `  a )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
10998, 108eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
11087, 109jca 532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  e.  _V  /\  ( # `
 ( a concat  <" ( F `  a
) "> )
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
111 elpreima 5844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) ) )
11258, 59, 111mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
113110, 112sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
11496, 113elind 3561 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) ) )
115114, 13syl6eleqr 2534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  W )
116 ccatws1n0 12331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e. Word  S  /\  ( F `  a )  e.  S )  -> 
( a concat  <" ( F `  a ) "> )  =/=  (/) )
11791, 93, 116syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  =/=  (/) )
118115, 117jca 532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  e.  W  /\  ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  =/=  (/) ) )
119 eldifsn 4021 . . . . . . 7  |-  ( ( a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  ( W  \  { (/) } )  <->  ( ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  e.  W  /\  ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  =/=  (/) ) )
120118, 119sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  ( W  \  { (/)
} ) )
12188, 120eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) b )  e.  ( W 
\  { (/) } ) )
12227, 30, 76, 121seqf 11848 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) : ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) --> ( W  \  { (/) } ) )
123 fco2 5590 . . . 4  |-  ( ( ( lastS  |`  ( W  \  { (/) } ) ) : ( W  \  { (/) } ) --> S  /\  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) : ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) --> ( W  \  { (/) } ) )  ->  ( lastS  o.  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) : (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) --> S )
12426, 122, 123syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( lastS  o.  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) : (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) --> S )
125 fzouzdisj 11606 . . . 4  |-  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  i^i  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) )  =  (/)
126125a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ (
# `  M )
)  i^i  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  =  (/) )
127 fun 5596 . . 3  |-  ( ( ( M : ( 0..^ ( # `  M
) ) --> S  /\  ( lastS  o.  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) : (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) --> S )  /\  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  i^i  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) )  =  (/) )  ->  ( M  u.  ( lastS  o.  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ (
# `  M )
)  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) --> ( S  u.  S ) )
1283, 124, 126, 127syl21anc 1217 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  u.  ( lastS  o. 
seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ (
# `  M )
)  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) --> ( S  u.  S ) )
12944, 1, 13, 43sseqval 26793 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F )  =  ( M  u.  ( lastS  o.  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) ) ) )
130 fzouzsplit 11605 . . . . . 6  |-  ( (
# `  M )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  u.  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
13135, 130sylbi 195 . . . . 5  |-  ( (
# `  M )  e.  NN0  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0..^ ( # `  M ) )  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
1321, 28, 1313syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  u.  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
13339, 132syl5eq 2487 . . 3  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  u.  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
134 unidm 3520 . . . . 5  |-  ( S  u.  S )  =  S
135134a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  u.  S
)  =  S )
136135eqcomd 2448 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  ( S  u.  S ) )
137129, 133, 136feq123d 5570 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  <->  ( M  u.  ( lastS  o.  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ (
# `  M )
)  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) --> ( S  u.  S ) ) )
138128, 137mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   _Vcvv 2993    \ cdif 3346    u. cun 3347    i^i cin 3348   (/)c0 3658   {csn 3898    X. cxp 4859   `'ccnv 4860   dom cdm 4861    |` cres 4863   "cima 4864    o. ccom 4865   Fun wfun 5433    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    e. cmpt2 6114   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306   +oocpnf 9436    - cmin 9616   NN0cn0 10600   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882  ..^cfzo 11569    seqcseq 11827   #chash 12124  Word cword 12242   lastS clsw 12243   concat cconcat 12244   <"cs1 12245  seqstrcsseq 26788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-card 8130  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-seq 11828  df-hash 12125  df-word 12250  df-lsw 12251  df-concat 12252  df-s1 12253  df-sseq 26789
This theorem is referenced by:  sseqp1  26800  fibp1  26806
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