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Theorem sseqf 28204
Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
sseqval.2  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
sseqval.3  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
sseqval.4  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
Assertion
Ref Expression
sseqf  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables  x  y  a  b  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e. Word  S )
2 wrdf 12532 . . . 4  |-  ( M  e. Word  S  ->  M : ( 0..^ (
# `  M )
) --> S )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M : ( 0..^ ( # `  M
) ) --> S )
4 vex 3098 . . . . . . . . 9  |-  w  e. 
_V
54a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  w  e.  _V )
6 fvex 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x `
 ( ( # `  x )  -  1 ) )  e.  _V
7 df-lsw 12522 . . . . . . . . 9  |- lastS  =  ( x  e.  _V  |->  ( x `  ( (
# `  x )  -  1 ) ) )
86, 7dmmpti 5700 . . . . . . . 8  |-  dom lastS  =  _V
95, 8syl6eleqr 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  w  e.  dom lastS  )
10 eldifsn 4140 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( W  \  { (/) } )  <->  ( w  e.  W  /\  w  =/=  (/) ) )
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  W  =  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
12 inss1 3703 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) 
C_ Word  S
1311, 12eqsstri 3519 . . . . . . . . . . 11  |-  W  C_ Word  S
1413sseli 3485 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  W  ->  w  e. Word  S )
15 lswcl 12568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e. Word  S  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  w )  e.  S
)
1614, 15sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  e.  W  /\  w  =/=  (/) )  ->  ( lastS  `  w )  e.  S
)
1710, 16sylbi 195 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ( W  \  { (/) } )  -> 
( lastS  `  w )  e.  S )
1817adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  ( lastS  `  w )  e.  S
)
199, 18jca 532 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( W  \  { (/) } ) )  ->  (
w  e.  dom lastS  /\  ( lastS  `  w )  e.  S
) )
2019ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( W  \  { (/) } ) ( w  e. 
dom lastS  /\  ( lastS  `  w
)  e.  S ) )
216, 7fnmpti 5699 . . . . . 6  |- lastS  Fn  _V
22 fnfun 5668 . . . . . 6  |-  ( lastS  Fn  _V  ->  Fun lastS  )
23 ffvresb 6047 . . . . . 6  |-  ( Fun lastS  ->  ( ( lastS  |`  ( W  \  { (/) } ) ) : ( W 
\  { (/) } ) --> S  <->  A. w  e.  ( W  \  { (/) } ) ( w  e. 
dom lastS  /\  ( lastS  `  w
)  e.  S ) ) )
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5  |-  ( ( lastS  |`  ( W  \  { (/)
} ) ) : ( W  \  { (/)
} ) --> S  <->  A. w  e.  ( W  \  { (/)
} ) ( w  e.  dom lastS  /\  ( lastS  `  w
)  e.  S ) )
2520, 24sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( lastS  |`  ( W  \  { (/) } ) ) : ( W  \  { (/) } ) --> S )
26 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( ZZ>= `  ( # `  M ) )  =  ( ZZ>= `  ( # `  M ) )
27 lencl 12541 . . . . . . 7  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e. 
NN0 )
2827nn0zd 10972 . . . . . 6  |-  ( M  e. Word  S  ->  ( # `
 M )  e.  ZZ )
291, 28syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  ZZ )
30 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
321, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  M
)  e.  NN0 )
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  M )  e.  NN0 )
34 elnn0uz 11127 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
# `  M )  e.  NN0  <->  ( # `  M
)  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( # `  M )  e.  ( ZZ>= `  0
) )
36 uztrn 11106 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) )  /\  ( # `  M )  e.  (
ZZ>= `  0 ) )  ->  a  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
3731, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
a  e.  ( ZZ>= ` 
0 ) )
38 nn0uz 11124 . . . . . . . 8  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
3937, 38syl6eleqr 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
a  e.  NN0 )
40 fvconst2g 6109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 a )  =  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )
4130, 39, 40sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 a )  =  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : W --> S )
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
4443, 1, 11, 42sseqmw 28203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  M  e.  W )
4542, 44ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  M
)  e.  S )
4645s1cld 12594 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  <" ( F `
 M ) ">  e. Word  S )
47 ccatcl 12572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e. Word  S  /\  <" ( F `  M ) ">  e. Word  S )  ->  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e. Word  S
)
481, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e. Word  S
)
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  _V )
50 ccatws1len 12605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e. Word  S  /\  ( F `  M )  e.  S )  -> 
( # `  ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) )  =  ( ( # `  M
)  +  1 ) )
511, 45, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  =  ( ( # `  M
)  +  1 ) )
52 uzid 11104 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  M )  e.  ZZ  ->  ( # `  M
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
53 peano2uz 11143 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
# `  M )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) )  ->  (
( # `  M )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
5429, 52, 533syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  M
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) )
5551, 54eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
56 hashf 12391 . . . . . . . . . . . 12  |-  # : _V
--> ( NN0  u.  { +oo } )
57 ffn 5721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # : _V --> ( NN0  u.  { +oo } )  ->  #  Fn  _V )
58 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) ) )
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
6049, 55, 59sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
6148, 60elind 3673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  (Word 
S  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
6261, 11syl6eleqr 2542 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W
)
6362adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W
)
641adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  M  e. Word  S )
6542adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  F : W --> S )
6644adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  ->  M  e.  W )
6765, 66ffvelrnd 6017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( F `  M
)  e.  S )
68 ccatws1n0 12615 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e. Word  S  /\  ( F `  M )  e.  S )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  =/=  (/) )
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  =/=  (/) )
70 eldifsn 4140 . . . . . . 7  |-  ( ( M concat  <" ( F `
 M ) "> )  e.  ( W  \  { (/) } )  <->  ( ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  W  /\  ( M concat  <" ( F `  M ) "> )  =/=  (/) ) )
7163, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( M concat  <" ( F `  M ) "> )  e.  ( W  \  { (/) } ) )
7241, 71eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  -> 
( ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) `
 a )  e.  ( W  \  { (/)
} ) )
73 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) )  =  ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) )
74 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  x  =  a )
7574fveq2d 5860 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  a ) )
7675s1eqd 12592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  <" ( F `  x ) ">  =  <" ( F `  a ) "> )
7774, 76oveq12d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  ( W 
\  { (/) } )  /\  b  e.  ( W  \  { (/) } ) ) )  /\  ( x  =  a  /\  y  =  b
) )  ->  (
x concat  <" ( F `
 x ) "> )  =  ( a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )
78 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  a  e. 
_V
7978a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  _V )
80 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  b  e. 
_V
8180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  b  e.  _V )
82 ovex 6309 . . . . . . . 8  |-  ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  e.  _V
8382a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  _V )
8473, 77, 79, 81, 83ovmpt2d 6415 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) b )  =  ( a concat  <" ( F `  a ) "> ) )
85 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ( W  \  { (/) } )  -> 
a  e.  W )
8685ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  W
)
8713, 86sseldi 3487 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e. Word  S
)
8842adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  F : W --> S )
8988, 86ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  S
)
9089s1cld 12594 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  <" ( F `
 a ) ">  e. Word  S )
91 ccatcl 12572 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e. Word  S  /\  <" ( F `  a ) ">  e. Word  S )  ->  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e. Word  S
)
9287, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e. Word  S )
93 ccatws1len 12605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( a  e. Word  S  /\  ( F `  a )  e.  S )  -> 
( # `  ( a concat  <" ( F `  a ) "> ) )  =  ( ( # `  a
)  +  1 ) )
9487, 89, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  =  ( ( # `  a
)  +  1 ) )
9586, 11syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  (Word 
S  i^i  ( `' #
" ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) ) )
96 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )  <->  ( a  e. Word  S  /\  a  e.  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) ) )
9796simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )  -> 
a  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `
 M ) ) ) )
9895, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  a  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
99 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( a  e.  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) )  <->  ( a  e.  _V  /\  ( # `  a )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) ) )
10056, 57, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )  <->  ( a  e.  _V  /\  ( # `  a )  e.  (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
10198, 100sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a  e. 
_V  /\  ( # `  a
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) )
102101simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( # `  a
)  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
103 peano2uz 11143 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
# `  a )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) )  ->  (
( # `  a )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( ( # `  a )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )
10594, 104eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) )
106 elpreima 5992 . . . . . . . . . . 11  |-  ( #  Fn  _V  ->  ( (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) ) )
10756, 57, 106mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  <->  ( (
a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  _V  /\  ( # `  (
a concat  <" ( F `
 a ) "> ) )  e.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
10883, 105, 107sylanbrc 664 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  ( `' # " ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
10992, 108elind 3673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  (Word  S  i^i  ( `' # " ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) ) )
110109, 11syl6eleqr 2542 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  W )
111 ccatws1n0 12615 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  e. Word  S  /\  ( F `  a )  e.  S )  -> 
( a concat  <" ( F `  a ) "> )  =/=  (/) )
11287, 89, 111syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  =/=  (/) )
113 eldifsn 4140 . . . . . . 7  |-  ( ( a concat  <" ( F `
 a ) "> )  e.  ( W  \  { (/) } )  <->  ( ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  e.  W  /\  ( a concat  <" ( F `  a ) "> )  =/=  (/) ) )
114110, 112, 113sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a concat  <" ( F `  a
) "> )  e.  ( W  \  { (/)
} ) )
11584, 114eqeltrd 2531 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ( W  \  { (/)
} )  /\  b  e.  ( W  \  { (/)
} ) ) )  ->  ( a ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) b )  e.  ( W 
\  { (/) } ) )
11626, 29, 72, 115seqf 12107 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) : ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) --> ( W  \  { (/) } ) )
117 fco2 5732 . . . 4  |-  ( ( ( lastS  |`  ( W  \  { (/) } ) ) : ( W  \  { (/) } ) --> S  /\  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) : ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) --> ( W  \  { (/) } ) )  ->  ( lastS  o.  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) : (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) --> S )
11825, 116, 117syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( lastS  o.  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) : (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) --> S )
119 fzouzdisj 11840 . . . 4  |-  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  i^i  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) )  =  (/)
120119a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 0..^ (
# `  M )
)  i^i  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) )  =  (/) )
121 fun 5738 . . 3  |-  ( ( ( M : ( 0..^ ( # `  M
) ) --> S  /\  ( lastS  o.  seq ( # `  M ) ( ( x  e.  _V , 
y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `
 x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) : (
ZZ>= `  ( # `  M
) ) --> S )  /\  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  i^i  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) )  =  (/) )  ->  ( M  u.  ( lastS  o.  seq ( # `  M ) ( ( x  e. 
_V ,  y  e. 
_V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ (
# `  M )
)  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) --> ( S  u.  S ) )
1223, 118, 120, 121syl21anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( M  u.  ( lastS  o. 
seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ (
# `  M )
)  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) --> ( S  u.  S ) )
12343, 1, 11, 42sseqval 28200 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F )  =  ( M  u.  ( lastS  o.  seq ( # `  M
) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  { ( M concat  <" ( F `
 M ) "> ) } ) ) ) ) )
124 fzouzsplit 11839 . . . . . 6  |-  ( (
# `  M )  e.  ( ZZ>= `  0 )  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  u.  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
12534, 124sylbi 195 . . . . 5  |-  ( (
# `  M )  e.  NN0  ->  ( ZZ>= ` 
0 )  =  ( ( 0..^ ( # `  M ) )  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M
) ) ) )
1261, 27, 1253syl 20 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ZZ>= `  0 )  =  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  u.  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
12738, 126syl5eq 2496 . . 3  |-  ( ph  ->  NN0  =  ( ( 0..^ ( # `  M
) )  u.  ( ZZ>=
`  ( # `  M
) ) ) )
128 unidm 3632 . . . . 5  |-  ( S  u.  S )  =  S
129128a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  u.  S
)  =  S )
130129eqcomd 2451 . . 3  |-  ( ph  ->  S  =  ( S  u.  S ) )
131123, 127, 130feq123d 5711 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Mseqstr F ) : NN0 --> S  <->  ( M  u.  ( lastS  o.  seq ( # `
 M ) ( ( x  e.  _V ,  y  e.  _V  |->  ( x concat  <" ( F `  x ) "> ) ) ,  ( NN0  X.  {
( M concat  <" ( F `  M ) "> ) } ) ) ) ) : ( ( 0..^ (
# `  M )
)  u.  ( ZZ>= `  ( # `  M ) ) ) --> ( S  u.  S ) ) )
132122, 131mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( Mseqstr F ) : NN0 --> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   A.wral 2793   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460   (/)c0 3770   {csn 4014    X. cxp 4987   `'ccnv 4988   dom cdm 4989    |` cres 4991   "cima 4992    o. ccom 4993   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498   +oocpnf 9628    - cmin 9810   NN0cn0 10801   ZZcz 10870   ZZ>=cuz 11090  ..^cfzo 11803    seqcseq 12086   #chash 12384  Word cword 12513   lastS clsw 12514   concat cconcat 12515   <"cs1 12516  seqstrcsseq 28195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-word 12521  df-lsw 12522  df-concat 12523  df-s1 12524  df-sseq 28196
This theorem is referenced by:  sseqp1  28207  fibp1  28213
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