Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sseqf Structured version   Unicode version

Theorem sseqf 28204
 Description: A strong recursive sequence is a function over the nonnegative integers. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
sseqval.1
sseqval.2 Word
sseqval.3 Word
sseqval.4
Assertion
Ref Expression
sseqf seqstr

Proof of Theorem sseqf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseqval.2 . . . 4 Word
2 wrdf 12532 . . . 4 Word ..^
31, 2syl 16 . . 3 ..^
4 vex 3098 . . . . . . . . 9
54a1i 11 . . . . . . . 8
6 fvex 5866 . . . . . . . . 9
7 df-lsw 12522 . . . . . . . . 9 lastS
86, 7dmmpti 5700 . . . . . . . 8 lastS
95, 8syl6eleqr 2542 . . . . . . 7 lastS
10 eldifsn 4140 . . . . . . . . 9
11 sseqval.3 . . . . . . . . . . . 12 Word
12 inss1 3703 . . . . . . . . . . . 12 Word Word
1311, 12eqsstri 3519 . . . . . . . . . . 11 Word
1413sseli 3485 . . . . . . . . . 10 Word
15 lswcl 12568 . . . . . . . . . 10 Word lastS
1614, 15sylan 471 . . . . . . . . 9 lastS
1710, 16sylbi 195 . . . . . . . 8 lastS
1817adantl 466 . . . . . . 7 lastS
199, 18jca 532 . . . . . 6 lastS lastS
2019ralrimiva 2857 . . . . 5 lastS lastS
216, 7fnmpti 5699 . . . . . 6 lastS
22 fnfun 5668 . . . . . 6 lastS lastS
23 ffvresb 6047 . . . . . 6 lastS lastS lastS lastS
2421, 22, 23mp2b 10 . . . . 5 lastS lastS lastS
2520, 24sylibr 212 . . . 4 lastS
26 eqid 2443 . . . . 5
27 lencl 12541 . . . . . . 7 Word
2827nn0zd 10972 . . . . . 6 Word
291, 28syl 16 . . . . 5
30 ovex 6309 . . . . . . 7 concat
31 simpr 461 . . . . . . . . 9
321, 27syl 16 . . . . . . . . . . 11
3332adantr 465 . . . . . . . . . 10
34 elnn0uz 11127 . . . . . . . . . 10
3533, 34sylib 196 . . . . . . . . 9
36 uztrn 11106 . . . . . . . . 9
3731, 35, 36syl2anc 661 . . . . . . . 8
38 nn0uz 11124 . . . . . . . 8
3937, 38syl6eleqr 2542 . . . . . . 7
40 fvconst2g 6109 . . . . . . 7 concat concat concat
4130, 39, 40sylancr 663 . . . . . 6 concat concat
42 sseqval.4 . . . . . . . . . . . . 13
43 sseqval.1 . . . . . . . . . . . . . 14
4443, 1, 11, 42sseqmw 28203 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 44ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . . 12
4645s1cld 12594 . . . . . . . . . . 11 Word
47 ccatcl 12572 . . . . . . . . . . 11 Word Word concat Word
481, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10 concat Word
4930a1i 11 . . . . . . . . . . 11 concat
50 ccatws1len 12605 . . . . . . . . . . . . 13 Word concat
511, 45, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12 concat
52 uzid 11104 . . . . . . . . . . . . 13
53 peano2uz 11143 . . . . . . . . . . . . 13
5429, 52, 533syl 20 . . . . . . . . . . . 12
5551, 54eqeltrd 2531 . . . . . . . . . . 11 concat
56 hashf 12391 . . . . . . . . . . . 12
57 ffn 5721 . . . . . . . . . . . 12
58 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . 12 concat concat concat
5956, 57, 58mp2b 10 . . . . . . . . . . 11 concat concat concat
6049, 55, 59sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10 concat
6148, 60elind 3673 . . . . . . . . 9 concat Word
6261, 11syl6eleqr 2542 . . . . . . . 8 concat
6362adantr 465 . . . . . . 7 concat
641adantr 465 . . . . . . . 8 Word
6542adantr 465 . . . . . . . . 9
6644adantr 465 . . . . . . . . 9
6765, 66ffvelrnd 6017 . . . . . . . 8
68 ccatws1n0 12615 . . . . . . . 8 Word concat
6964, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . 7 concat
70 eldifsn 4140 . . . . . . 7 concat concat concat
7163, 69, 70sylanbrc 664 . . . . . 6 concat
7241, 71eqeltrd 2531 . . . . 5 concat
73 eqidd 2444 . . . . . . 7 concat concat
74 simprl 756 . . . . . . . 8
7574fveq2d 5860 . . . . . . . . 9
7675s1eqd 12592 . . . . . . . 8
7774, 76oveq12d 6299 . . . . . . 7 concat concat
78 vex 3098 . . . . . . . 8
7978a1i 11 . . . . . . 7
80 vex 3098 . . . . . . . 8
8180a1i 11 . . . . . . 7
82 ovex 6309 . . . . . . . 8 concat
8382a1i 11 . . . . . . 7 concat
8473, 77, 79, 81, 83ovmpt2d 6415 . . . . . 6 concat concat
85 eldifi 3611 . . . . . . . . . . . 12
8685ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11
8713, 86sseldi 3487 . . . . . . . . . 10 Word
8842adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
8988, 86ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . . 11
9089s1cld 12594 . . . . . . . . . 10 Word
91 ccatcl 12572 . . . . . . . . . 10 Word Word concat Word
9287, 90, 91syl2anc 661 . . . . . . . . 9 concat Word
93 ccatws1len 12605 . . . . . . . . . . . 12 Word concat
9487, 89, 93syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11 concat
9586, 11syl6eleq 2541 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
96 elin 3672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word Word
9796simprbi 464 . . . . . . . . . . . . . . 15 Word
9895, 97syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
99 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . . . . 15
10056, 57, 99mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . 14
10198, 100sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
102101simprd 463 . . . . . . . . . . . 12
103 peano2uz 11143 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103syl 16 . . . . . . . . . . 11
10594, 104eqeltrd 2531 . . . . . . . . . 10 concat
106 elpreima 5992 . . . . . . . . . . 11 concat concat concat
10756, 57, 106mp2b 10 . . . . . . . . . 10 concat concat concat
10883, 105, 107sylanbrc 664 . . . . . . . . 9 concat
10992, 108elind 3673 . . . . . . . 8 concat Word
110109, 11syl6eleqr 2542 . . . . . . 7 concat
111 ccatws1n0 12615 . . . . . . . 8 Word concat
11287, 89, 111syl2anc 661 . . . . . . 7 concat
113 eldifsn 4140 . . . . . . 7 concat concat concat
114110, 112, 113sylanbrc 664 . . . . . 6 concat
11584, 114eqeltrd 2531 . . . . 5 concat
11626, 29, 72, 115seqf 12107 . . . 4 concat concat
117 fco2 5732 . . . 4 lastS concat concat lastS concat concat
11825, 116, 117syl2anc 661 . . 3 lastS concat concat
119 fzouzdisj 11840 . . . 4 ..^
120119a1i 11 . . 3 ..^
121 fun 5738 . . 3 ..^ lastS concat concat ..^ lastS concat concat ..^
1223, 118, 120, 121syl21anc 1228 . 2 lastS concat concat ..^
12343, 1, 11, 42sseqval 28200 . . 3 seqstr lastS concat concat
124 fzouzsplit 11839 . . . . . 6 ..^
12534, 124sylbi 195 . . . . 5 ..^
1261, 27, 1253syl 20 . . . 4 ..^
12738, 126syl5eq 2496 . . 3 ..^
128 unidm 3632 . . . . 5
129128a1i 11 . . . 4
130129eqcomd 2451 . . 3
131123, 127, 130feq123d 5711 . 2 seqstr lastS concat concat ..^
132122, 131mpbird 232 1 seqstr
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1383   wcel 1804   wne 2638  wral 2793  cvv 3095   cdif 3458   cun 3459   cin 3460  c0 3770  csn 4014   cxp 4987  ccnv 4988   cdm 4989   cres 4991  cima 4992   ccom 4993   wfun 5572   wfn 5573  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281   cmpt2 6283  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cpnf 9628   cmin 9810  cn0 10801  cz 10870  cuz 11090  ..^cfzo 11803   cseq 12086  chash 12384  Word cword 12513   lastS clsw 12514   concat cconcat 12515  cs1 12516  seqstrcsseq 28195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-n0 10802  df-z 10871  df-uz 11091  df-fz 11682  df-fzo 11804  df-seq 12087  df-hash 12385  df-word 12521  df-lsw 12522  df-concat 12523  df-s1 12524  df-sseq 28196 This theorem is referenced by:  sseqp1  28207  fibp1  28213
 Copyright terms: Public domain W3C validator