Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsmsymgrfixlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsmsymgrfixlem1 17670
 Description: Lemma 1 for gsmsymgrfix 17671. (Contributed by AV, 20-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsmsymgrfix.s 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
gsmsymgrfix.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
gsmsymgrfixlem1 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝑖,𝐾   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑖,𝑊
Allowed substitution hint:   𝑆(𝑖)

Proof of Theorem gsmsymgrfixlem1
StepHypRef Expression
1 lencl 13179 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
2 elnn0uz 11601 . . . . . . . 8 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
31, 2sylib 207 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Word 𝐵 → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
543ad2ant1 1075 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0))
6 fzosplitsn 12442 . . . . 5 ((#‘𝑊) ∈ (ℤ‘0) → (0..^((#‘𝑊) + 1)) = ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)}))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (0..^((#‘𝑊) + 1)) = ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)}))
87raleqdv 3121 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
91adantr 480 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
1093ad2ant1 1075 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
11 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑖 = (#‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊)))
1211fveq1d 6105 . . . . . 6 (𝑖 = (#‘𝑊) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾))
1312eqeq1d 2612 . . . . 5 (𝑖 = (#‘𝑊) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾))
1413ralunsn 4360 . . . 4 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
1510, 14syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ ((0..^(#‘𝑊)) ∪ {(#‘𝑊)})(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
168, 15bitrd 267 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾)))
17 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
18 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → 𝑃𝐵)
19 eqidd 2611 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (#‘𝑊) = (#‘𝑊))
2017, 18, 193jca 1235 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)))
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)))
22 ccats1val2 13256 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊)) = 𝑃)
2322fveq1d 6105 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = (𝑃𝐾))
2423eqeq1d 2612 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵 ∧ (#‘𝑊) = (#‘𝑊)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
2521, 24syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
26253adant3 1074 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 ↔ (𝑃𝐾) = 𝐾))
27 simpl 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
2827adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
2917adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
3018adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → 𝑃𝐵)
3128, 29, 303jca 1235 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵))
32313adant3 1074 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵))
3332adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵))
34 gsmsymgrfix.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (SymGrp‘𝑁)
35 gsmsymgrfix.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝑆)
3634, 35gsumccatsymgsn 17669 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → (𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)) = ((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃))
3736fveq1d 6105 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
3833, 37syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾))
3934, 35symgbasf 17627 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃𝐵𝑃:𝑁𝑁)
40 ffn 5958 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃:𝑁𝑁𝑃 Fn 𝑁)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃𝐵𝑃 Fn 𝑁)
4241adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) → 𝑃 Fn 𝑁)
43 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) → 𝐾𝑁)
4442, 43anim12i 588 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁))
45443adant3 1074 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁))
4645adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁))
47 fvco2 6183 . . . . . . . 8 ((𝑃 Fn 𝑁𝐾𝑁) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑆 Σg 𝑊) ∘ 𝑃)‘𝐾) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)))
49 fveq2 6103 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
5049adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
5150adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾))
5229adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐵)
5330adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑃𝐵)
54 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
55 ccats1val1 13255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
5652, 53, 54, 55syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
5756fveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = ((𝑊𝑖)‘𝐾))
5857eqeq1d 2612 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
5958ralbidva 2968 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6059biimpd 218 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
6160adantld 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
62613adant3 1074 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾))
63 simp3 1056 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
6462, 63syld 46 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾))
6564imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)
6651, 65eqtrd 2644 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg 𝑊)‘(𝑃𝐾)) = 𝐾)
6738, 48, 663eqtrd 2648 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) ∧ ((𝑃𝐾) = 𝐾 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)
6867exp32 629 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((𝑃𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
6926, 68sylbid 229 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
7069com23 84 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾)))
7170impd 446 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → ((∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘(#‘𝑊))‘𝐾) = 𝐾) → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
7216, 71sylbid 229 1 (((𝑊 ∈ Word 𝐵𝑃𝐵) ∧ (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑁) ∧ (∀𝑖 ∈ (0..^(#‘𝑊))((𝑊𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg 𝑊)‘𝐾) = 𝐾)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) + 1))(((𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩)‘𝑖)‘𝐾) = 𝐾 → ((𝑆 Σg (𝑊 ++ ⟨“𝑃”⟩))‘𝐾) = 𝐾))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∪ cun 3538  {csn 4125   ∘ ccom 5042   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149  Basecbs 15695   Σg cgsu 15924  SymGrpcsymg 17620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-tset 15787  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-symg 17621 This theorem is referenced by:  gsmsymgrfix  17671
 Copyright terms: Public domain W3C validator