Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1wlkp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1wlkp1 40890
 Description: Append one path segment (edge) 𝐸 from vertex (𝑃‘𝑁) to a vertex 𝐶 to a 1-walk ⟨𝐹, 𝑃⟩ to become a 1-walk ⟨𝐻, 𝑄⟩ of the supergraph 𝑆 obtained by adding the new edge to the graph 𝐺. Formerly proven directly for Eulerian paths (for pseudographs), see eupthp1 41384. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (Revised by AV, 6-Mar-2021.) (Prove shortened by AV, 18-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
1wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
1wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
1wlkp1.b (𝜑𝐵 ∈ V)
1wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
1wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
1wlkp1.w (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
1wlkp1.n 𝑁 = (#‘𝐹)
1wlkp1.e (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
1wlkp1.x (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
1wlkp1.u (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
1wlkp1.h 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
1wlkp1.q 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
1wlkp1.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
1wlkp1.l ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
Assertion
Ref Expression
1wlkp1 (𝜑𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄)

Proof of Theorem 1wlkp1
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1wlkp1.w . . . . . 6 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
2 1wlkp1.i . . . . . . 7 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
321wlkf 40819 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
4 wrdf 13165 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼)
5 1wlkp1.n . . . . . . . . . 10 𝑁 = (#‘𝐹)
65eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 (#‘𝐹) = 𝑁
76oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (0..^(#‘𝐹)) = (0..^𝑁)
87feq2i 5950 . . . . . . 7 (𝐹:(0..^(#‘𝐹))⟶dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼)
94, 8sylib 207 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼)
101, 3, 93syl 18 . . . . 5 (𝜑𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼)
11 fvex 6113 . . . . . . . 8 (#‘𝐹) ∈ V
125, 11eqeltri 2684 . . . . . . 7 𝑁 ∈ V
1312a1i 11 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ V)
14 1wlkp1.b . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ V)
15 snidg 4153 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ V → 𝐵 ∈ {𝐵})
1614, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ {𝐵})
17 1wlkp1.e . . . . . . . 8 (𝜑𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
18 dmsnopg 5524 . . . . . . . 8 (𝐸 ∈ (Edg‘𝐺) → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
1917, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → dom {⟨𝐵, 𝐸⟩} = {𝐵})
2016, 19eleqtrrd 2691 . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
2113, 20fsnd 6091 . . . . 5 (𝜑 → {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}⟶dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
22 fzodisjsn 12374 . . . . . 6 ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅
2322a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅)
24 fun 5979 . . . . 5 (((𝐹:(0..^𝑁)⟶dom 𝐼 ∧ {⟨𝑁, 𝐵⟩}:{𝑁}⟶dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}) ∧ ((0..^𝑁) ∩ {𝑁}) = ∅) → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})⟶(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
2510, 21, 23, 24syl21anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})⟶(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
26 1wlkp1.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2726a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
28 1wlkp1.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
29 1wlkp1.f . . . . . . . 8 (𝜑 → Fun 𝐼)
30 1wlkp1.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ Fin)
31 1wlkp1.c . . . . . . . 8 (𝜑𝐶𝑉)
32 1wlkp1.d . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
33 1wlkp1.x . . . . . . . 8 (𝜑 → {(𝑃𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
34 1wlkp1.u . . . . . . . 8 (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
3528, 2, 29, 30, 14, 31, 32, 1, 5, 17, 33, 34, 261wlkp1lem2 40883 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))
3635oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = (0..^(𝑁 + 1)))
37 1wlkcl 40820 . . . . . . . 8 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
38 eleq1 2676 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐹) = 𝑁 → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
3938eqcoms 2618 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = (#‘𝐹) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0))
40 elnn0uz 11601 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4140biimpi 205 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4239, 41syl6bi 242 . . . . . . . . 9 (𝑁 = (#‘𝐹) → ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0)))
435, 42ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
441, 37, 433syl 18 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
45 fzosplitsn 12442 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
4736, 46eqtrd 2644 . . . . 5 (𝜑 → (0..^(#‘𝐻)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
4834dmeqd 5248 . . . . . 6 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
49 dmun 5253 . . . . . 6 dom (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})
5048, 49syl6eq 2660 . . . . 5 (𝜑 → dom (iEdg‘𝑆) = (dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
5127, 47, 50feq123d 5947 . . . 4 (𝜑 → (𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom (iEdg‘𝑆) ↔ (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}):((0..^𝑁) ∪ {𝑁})⟶(dom 𝐼 ∪ dom {⟨𝐵, 𝐸⟩})))
5225, 51mpbird 246 . . 3 (𝜑𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom (iEdg‘𝑆))
53 iswrdb 13166 . . 3 (𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆) ↔ 𝐻:(0..^(#‘𝐻))⟶dom (iEdg‘𝑆))
5452, 53sylibr 223 . 2 (𝜑𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆))
55281wlkp 40821 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
561, 55syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
575oveq2i 6560 . . . . . . 7 (0...𝑁) = (0...(#‘𝐹))
5857feq2i 5950 . . . . . 6 (𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉𝑃:(0...(#‘𝐹))⟶𝑉)
5956, 58sylibr 223 . . . . 5 (𝜑𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉)
60 ovex 6577 . . . . . . 7 (𝑁 + 1) ∈ V
6160a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ V)
6261, 31fsnd 6091 . . . . 5 (𝜑 → {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝑉)
63 fzp1disj 12269 . . . . . 6 ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅
6463a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅)
65 fun 5979 . . . . 5 (((𝑃:(0...𝑁)⟶𝑉 ∧ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}:{(𝑁 + 1)}⟶𝑉) ∧ ((0...𝑁) ∩ {(𝑁 + 1)}) = ∅) → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝑉𝑉))
6659, 62, 64, 65syl21anc 1317 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝑉𝑉))
67 fzsuc 12258 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
6844, 67syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) = ((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)}))
69 unidm 3718 . . . . . . 7 (𝑉𝑉) = 𝑉
7069eqcomi 2619 . . . . . 6 𝑉 = (𝑉𝑉)
7170a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝑉 = (𝑉𝑉))
7268, 71feq23d 5953 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(0...(𝑁 + 1))⟶𝑉 ↔ (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):((0...𝑁) ∪ {(𝑁 + 1)})⟶(𝑉𝑉)))
7366, 72mpbird 246 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(0...(𝑁 + 1))⟶𝑉)
74 1wlkp1.q . . . . 5 𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩})
7574a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑄 = (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}))
7635oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → (0...(#‘𝐻)) = (0...(𝑁 + 1)))
77 1wlkp1.s . . . 4 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7875, 76, 77feq123d 5947 . . 3 (𝜑 → (𝑄:(0...(#‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆) ↔ (𝑃 ∪ {⟨(𝑁 + 1), 𝐶⟩}):(0...(𝑁 + 1))⟶𝑉))
7973, 78mpbird 246 . 2 (𝜑𝑄:(0...(#‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆))
80 1wlkp1.l . . 3 ((𝜑𝐶 = (𝑃𝑁)) → 𝐸 = {𝐶})
8128, 2, 29, 30, 14, 31, 32, 1, 5, 17, 33, 34, 26, 74, 77, 801wlkp1lem8 40889 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐻))if-((𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = {(𝑄𝑘)}, {(𝑄𝑘), (𝑄‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘))))
8228, 2, 29, 30, 14, 31, 32, 1, 5, 17, 33, 34, 26, 74, 771wlkp1lem4 40885 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
83 eqid 2610 . . . 4 (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝑆)
84 eqid 2610 . . . 4 (iEdg‘𝑆) = (iEdg‘𝑆)
8583, 84is1wlk 40813 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V) → (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑄:(0...(#‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐻))if-((𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = {(𝑄𝑘)}, {(𝑄𝑘), (𝑄‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘))))))
8682, 85syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄 ↔ (𝐻 ∈ Word dom (iEdg‘𝑆) ∧ 𝑄:(0...(#‘𝐻))⟶(Vtx‘𝑆) ∧ ∀𝑘 ∈ (0..^(#‘𝐻))if-((𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝑘 + 1)), ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘)) = {(𝑄𝑘)}, {(𝑄𝑘), (𝑄‘(𝑘 + 1))} ⊆ ((iEdg‘𝑆)‘(𝐻𝑘))))))
8754, 79, 81, 86mpbir3and 1238 1 (𝜑𝐻(1Walks‘𝑆)𝑄)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383  if-wif 1006   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800 This theorem is referenced by:  eupthp1  41384
 Copyright terms: Public domain W3C validator