Theorem 1wlkp1lem2 40883

Description: Lemma for 1wlkp1 40890. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
1wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
1wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
1wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
1wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
1wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
1wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
1wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
1wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
1wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
1wlkp1.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (Edg‘𝐺))
1wlkp1.x	⊢ (𝜑 → {(𝑃‘𝑁), 𝐶} ⊆ 𝐸)
1wlkp1.u	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ∪ {⟨𝐵, 𝐸⟩}))
1wlkp1.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})

Assertion

Ref	Expression
1wlkp1lem2	⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Proof of Theorem 1wlkp1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1wlkp1.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})
2	1	fveq2i 6106	. . 3 ⊢ (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩}))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})))
4		opex 4859	. . 3 ⊢ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V
5		1wlkp1.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
6		1wlkp1.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
7	6	1wlkf 40819	. . . . 5 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
8		wrdfin 13178	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 ∈ Fin)
9	5, 7, 8	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Fin)
10		1wlkp1.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (#‘𝐹)
11		fzonel 12352	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))
12	11	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹)))
13		eleq1 2676	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
14	13	notbid 307	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = (#‘𝐹) → (¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)) ↔ ¬ (#‘𝐹) ∈ (0..^(#‘𝐹))))
15	12, 14	syl5ibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = (#‘𝐹) → (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
16	10, 15	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
17		wrdfn 13174	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
18	5, 7, 17	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)))
19		fnop 5908	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)) ∧ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹)))
20	19	ex 449	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(#‘𝐹)) → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
21	18, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹 → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝐹))))
22	16, 21	mtod 188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹)
23	9, 22	jca 553	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹))
24		hashunsng 13042	. . 3 ⊢ (⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ V → ((𝐹 ∈ Fin ∧ ¬ ⟨𝑁, 𝐵⟩ ∈ 𝐹) → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + 1)))
25	4, 23, 24	mpsyl 66	. 2 ⊢ (𝜑 → (#‘(𝐹 ∪ {⟨𝑁, 𝐵⟩})) = ((#‘𝐹) + 1))
26	10	eqcomi 2619	. . . 4 ⊢ (#‘𝐹) = 𝑁
27	26	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐹) = 𝑁)
28	27	oveq1d 6564	. 2 ⊢ (𝜑 → ((#‘𝐹) + 1) = (𝑁 + 1))
29	3, 25, 28	3eqtrd 2648	1 ⊢ (𝜑 → (#‘𝐻) = (𝑁 + 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  Fun wfun 5798   Fn wfn 5799  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  Edgcedga 25792  1Walksc1wlks 40796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-1wlks 40800

This theorem is referenced by:  1wlkp1lem8  40889  1wlkp1  40890  eupthp1  41384