MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eluz2nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eluz2nn 11602
Description: An integer is greater than or equal to 2 is a positive integer. (Contributed by AV, 3-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
eluz2nn (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)

Proof of Theorem eluz2nn
StepHypRef Expression
1 1z 11284 . . 3 1 ∈ ℤ
2 1le2 11118 . . 3 1 ≤ 2
3 eluzuzle 11572 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 2) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1)))
41, 2, 3mp2an 704 . 2 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ (ℤ‘1))
5 nnuz 11599 . 2 ℕ = (ℤ‘1)
64, 5syl6eleqr 2699 1 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 1977   class class class wbr 4583  cfv 5804  1c1 9816  cle 9954  cn 10897  2c2 10947  cz 11254  cuz 11563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-z 11255  df-uz 11564
This theorem is referenced by:  eluzge2nn0  11603  eluz2n0  11604  zgt1rpn0n1  11747  mulp1mod1  12573  relexpaddg  13641  ncoprmgcdne1b  15201  isprm3  15234  prmind2  15236  nprm  15239  exprmfct  15254  prmdvdsfz  15255  isprm5  15257  maxprmfct  15259  isprm6  15264  phibndlem  15313  phibnd  15314  dfphi2  15317  pclem  15381  pcprendvds2  15384  pcpre1  15385  dvdsprmpweqnn  15427  expnprm  15444  prmreclem1  15458  4sqlem15  15501  4sqlem16  15502  vdwlem5  15527  vdwlem6  15528  vdwlem8  15530  vdwlem9  15531  vdwlem11  15533  prmgaplem1  15591  prmgaplem2  15592  prmgaplcmlem2  15594  prmgapprmolem  15603  ovolicc1  23091  wilth  24597  wilthimp  24598  mersenne  24752  bposlem3  24811  lgsquad2lem2  24910  2sqlem6  24948  rplogsumlem1  24973  rplogsumlem2  24974  dchrisum0flblem2  24998  ostthlem2  25117  ostth2lem2  25123  axlowdimlem5  25626  clwwisshclwwlem1  26333  usg2cwwkdifex  26349  signstfveq0  29980  subfacval3  30425  rmspecsqrtnq  36488  rmspecsqrtnqOLD  36489  rmxypos  36532  ltrmynn0  36533  jm2.17a  36545  jm2.17b  36546  jm2.17c  36547  jm2.27c  36592  jm3.1lem1  36602  jm3.1lem2  36603  jm3.1lem3  36604  relexpaddss  37029  wallispilem3  38960  fmtnonn  39981  fmtnorec3  39998  fmtnorec4  39999  fmtnoprmfac2lem1  40016  fmtnoprmfac2  40017  prmdvdsfmtnof1lem1  40034  prmdvdsfmtnof  40036  lighneallem4a  40063  lighneallem4b  40064  wtgoldbnnsum4prm  40218  bgoldbnnsum3prm  40220  clwwisshclwwslemlem  41233  av-numclwwlk3lem  41538  cznnring  41748  expnegico01  42102  fllogbd  42152  logbge0b  42155  logblt1b  42156  nnolog2flm1  42182  blennngt2o2  42184  blengt1fldiv2p1  42185  dignn0ldlem  42194  dignnld  42195  digexp  42199  dig1  42200
  Copyright terms: Public domain W3C validator