Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin12lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin12lem3 13341
 Description: Lemma 3 for swrdccatin12 13342. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l 𝐿 = (#‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Proof of Theorem swrdccatin12lem3
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 elfzo0 12376 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)))
3 swrdccatin12.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (#‘𝐴)
4 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
5 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
6 nn0addcl 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
76ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
873ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
98com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1093ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1110imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿𝑀)))
13 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
14 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
15 posdif 10400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
1613, 14, 15syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
17 elnn0z 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18 0red 9920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
19 zre 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
2114adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
22 lelttr 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
24 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2524anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
26 elnnz 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
2725, 26sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
2827ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
3023, 29syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
3130expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3231impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3317, 32sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3433imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
3516, 34sylbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐿𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3812, 37sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
39383ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
4039com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
41403adant3 1074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
4241imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
43 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
45133ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
47143ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
4944, 46, 48ltaddsubd 10506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿𝐾 < (𝐿𝑀)))
5049exbiri 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 < (𝐿𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5150com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
53523adant2 1073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5453impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
5511, 42, 543jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5655ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5756a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
585, 57sylbi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
5958imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
60592a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
61 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0))
62 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
63 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
6462, 633anbi23d 1394 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
6564imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
6665imbi2d 329 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
6760, 61, 663imtr4d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))))
6867eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 = (#‘𝐴) → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))))
693, 4, 68mpsyl 66 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))))
7069adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))))
7170imp 444 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
7271com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
732, 72sylbi 206 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
7473adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
7574impcom 445 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))
76 elfzo0 12376 . . . . . 6 ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))
7775, 76sylibr 223 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
78 df-3an 1033 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))))
791, 77, 78sylanbrc 695 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))))
80 ccatval1 13214 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
8179, 80syl 17 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
823swrdccatin12lem2c 13339 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
8382adantr 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
84 simprl 790 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
85 swrdfv 13276 . . . 4 ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
8683, 84, 85syl2anc 691 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
87 simpll 786 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
8887adantr 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
89 simprl 790 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
9089adantr 480 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
913eleq1i 2679 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
92 elnn0uz 11601 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ‘0))
93 eluzfz2 12220 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
9492, 93sylbi 206 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝐿))
953eqcomi 2619 . . . . . . . . 9 (#‘𝐴) = 𝐿
9695oveq2i 6560 . . . . . . . 8 (0...(#‘𝐴)) = (0...𝐿)
9794, 96syl6eleqr 2699 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
9891, 97sylbir 224 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
994, 98syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
10099ad3antrrr 762 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
101 simprr 792 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))
102 swrdfv 13276 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
10388, 90, 100, 101, 102syl31anc 1321 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
10481, 86, 1033eqtr4d 2654 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
105104ex 449 1 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158 This theorem is referenced by:  swrdccatin12  13342  pfxccatin12  40288
 Copyright terms: Public domain W3C validator