Theorem swrdccatin12lem3 13341

Description: Lemma 3 for swrdccatin12 13342. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
swrdccatin12.l	⊢ 𝐿 = (#‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
swrdccatin12lem3	⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Proof of Theorem swrdccatin12lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 786	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉))
2		elfzo0 12376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
3		swrdccatin12.l	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐿 = (#‘𝐴)
4		lencl 13179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
5		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿))
6		nn0addcl 11205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
7	6	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
8	7	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
9	8	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
10	9	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
11	10	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12		elnnz 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
13		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
14		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
15		posdif 10400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
16	13, 14, 15	syl2an 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿 − 𝑀)))
17		elnn0z 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18		0red 9920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
19		zre 11258	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
21	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
22		lelttr 10007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
24		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
25	24	anim1i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
26		elnnz 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
27	25, 26	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
28	27	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
30	23, 29	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
31	30	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
32	31	impancom 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
33	17, 32	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ)))
34	33	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 → 𝐿 ∈ ℕ))
35	16, 34	sylbird 249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐿 − 𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
36	35	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (0 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
38	12, 37	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
39	38	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
40	39	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
41	40	3adant3 1074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
42	41	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
43		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
45	13	3ad2ant1 1075	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
47	14	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
49	44, 46, 48	ltaddsubd 10506	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿 ↔ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)))
50	49	exbiri 650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
51	50	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < (𝐿 − 𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
52	51	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
53	52	3adant2 1073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
54	53	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
55	11, 42, 54	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
56	55	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
57	56	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
58	5, 57	sylbi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
59	58	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
60	59	2a1i 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
61		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ ℕ0))
62		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
63		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
64	62, 63	3anbi23d 1394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
65	64	imbi2d 329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
66	65	imbi2d 329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
67	60, 61, 66	3imtr4d 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))))
68	67	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐿 = (#‘𝐴) → ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))))
69	3, 4, 68	mpsyl 66	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))))
70	69	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))))
71	70	imp 444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
72	71	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 − 𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
73	2, 72	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
74	73	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴))))
75	74	impcom 445	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))
76		elfzo0 12376	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (#‘𝐴)))
77	75, 76	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴)))
78		df-3an 1033	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))))
79	1, 77, 78	sylanbrc 695	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))))
80		ccatval1 13214	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(#‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
81	79, 80	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
82	3	swrdccatin12lem2c 13339	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
83	82	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
84		simprl 790	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)))
85		swrdfv 13276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
86	83, 84, 85	syl2anc 691	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
87		simpll 786	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
88	87	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
89		simprl 790	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
90	89	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
91	3	eleq1i 2679	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (#‘𝐴) ∈ ℕ0)
92		elnn0uz 11601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ 𝐿 ∈ (ℤ≥‘0))
93		eluzfz2 12220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
94	92, 93	sylbi 206	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
95	3	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ (#‘𝐴) = 𝐿
96	95	oveq2i 6560	. . . . . . . 8 ⊢ (0...(#‘𝐴)) = (0...𝐿)
97	94, 96	syl6eleqr 2699	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
98	91, 97	sylbir 224	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
99	4, 98	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Word 𝑉 → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
100	99	ad3antrrr 762	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴)))
101		simprr 792	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))
102		swrdfv 13276	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
103	88, 90, 100, 101, 102	syl31anc 1321	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
104	81, 86, 103	3eqtr4d 2654	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
105	104	ex 449	1 ⊢ (((𝐴 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148   substr csubstr 13150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-substr 13158

This theorem is referenced by:  swrdccatin12  13342  pfxccatin12  40288