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Theorem efgsrel 17377
Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
efgval.w  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
efgval.r  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
efgval2.m  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
efgval2.t  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
efgred.d  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
efgred.s  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
Assertion
Ref Expression
efgsrel  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  .~  ( S `  F ) )
Distinct variable groups:    y, z    t, n, v, w, y, z, m, x    m, M    x, n, M, t, v, w    k, m, t, x, T    k, n, v, w, y, z, W, m, t, x    .~ , m, t, x, y, z    m, I, n, t, v, w, x, y, z    D, m, t
Allowed substitution hints:    D( x, y, z, w, v, k, n)    .~ ( w, v, k, n)    S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    T( y,
z, w, v, n)    F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)    I( k)    M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsrel
Dummy variables  a 
i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efgval.w . . . . . 6  |-  W  =  (  _I  ` Word  ( I  X.  2o ) )
2 efgval.r . . . . . 6  |-  .~  =  ( ~FG  `  I )
3 efgval2.m . . . . . 6  |-  M  =  ( y  e.  I ,  z  e.  2o  |->  <. y ,  ( 1o 
\  z ) >.
)
4 efgval2.t . . . . . 6  |-  T  =  ( v  e.  W  |->  ( n  e.  ( 0 ... ( # `  v ) ) ,  w  e.  ( I  X.  2o )  |->  ( v splice  <. n ,  n ,  <" w ( M `  w ) "> >. )
) )
5 efgred.d . . . . . 6  |-  D  =  ( W  \  U_ x  e.  W  ran  ( T `  x ) )
6 efgred.s . . . . . 6  |-  S  =  ( m  e.  {
t  e.  (Word  W  \  { (/) } )  |  ( ( t ` 
0 )  e.  D  /\  A. k  e.  ( 1..^ ( # `  t
) ) ( t `
 k )  e. 
ran  ( T `  ( t `  (
k  -  1 ) ) ) ) } 
|->  ( m `  (
( # `  m )  -  1 ) ) )
71, 2, 3, 4, 5, 6efgsdm 17373 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S  <->  ( F  e.  (Word  W  \  { (/)
} )  /\  ( F `  0 )  e.  D  /\  A. a  e.  ( 1..^ ( # `  F ) ) ( F `  a )  e.  ran  ( T `
 ( F `  ( a  -  1 ) ) ) ) )
87simp1bi 1021 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F  e.  (Word  W  \  { (/) } ) )
9 eldifsn 4123 . . . . 5  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  <->  ( F  e. Word  W  /\  F  =/=  (/) ) )
10 lennncl 12686 . . . . 5  |-  ( ( F  e. Word  W  /\  F  =/=  (/) )  ->  ( # `
 F )  e.  NN )
119, 10sylbi 199 . . . 4  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  -> 
( # `  F )  e.  NN )
12 fzo0end 12004 . . . 4  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
138, 11, 123syl 18 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )
14 nnm1nn0 10913 . . . . 5  |-  ( (
# `  F )  e.  NN  ->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  NN0 )
158, 11, 143syl 18 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  NN0 )
16 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
17 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  0  ->  ( F `  a )  =  ( F ` 
0 ) )
1817breq2d 4433 . . . . . . 7  |-  ( a  =  0  ->  (
( F `  0
)  .~  ( F `  a )  <->  ( F `  0 )  .~  ( F `  0 ) ) )
1916, 18imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  0  ->  (
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( 0  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  0 ) ) ) )
2019imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  0  ->  (
( F  e.  dom  S  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  a ) ) )  <-> 
( F  e.  dom  S  ->  ( 0  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  0 ) ) ) ) )
21 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( a  =  i  ->  (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
22 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  i  ->  ( F `  a )  =  ( F `  i ) )
2322breq2d 4433 . . . . . . 7  |-  ( a  =  i  ->  (
( F `  0
)  .~  ( F `  a )  <->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) ) )
2421, 23imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  i  ->  (
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  i ) ) ) )
2524imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  i  ->  (
( F  e.  dom  S  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  a ) ) )  <-> 
( F  e.  dom  S  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  i ) ) ) ) )
26 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) ) )
27 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
2827breq2d 4433 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( F `  0
)  .~  ( F `  a )  <->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
2926, 28imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
3029imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( F  e.  dom  S  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  a ) ) )  <-> 
( F  e.  dom  S  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
31 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( a  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  <->  ( ( # `
 F )  - 
1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
32 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) )
3332breq2d 4433 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( ( F `  0 )  .~  ( F `  a
)  <->  ( F ` 
0 )  .~  ( F `  ( ( # `
 F )  - 
1 ) ) ) )
3431, 33imbi12d 322 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( (
a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) )  <->  ( (
( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) ) ) )
3534imbi2d 318 . . . . 5  |-  ( a  =  ( ( # `  F )  -  1 )  ->  ( ( F  e.  dom  S  -> 
( a  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  a
) ) )  <->  ( F  e.  dom  S  ->  (
( ( # `  F
)  -  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( (
# `  F )  -  1 ) ) ) ) ) )
361, 2efger 17361 . . . . . . . 8  |-  .~  Er  W
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  0  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) )  ->  .~  Er  W )
38 eldifi 3588 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  (Word  W  \  { (/) } )  ->  F  e. Word  W )
39 wrdf 12674 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e. Word  W  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> W )
408, 38, 393syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> W )
4140ffvelrnda 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  0  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  e.  W )
4237, 41erref 7389 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  0  e.  (
0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  0 ) )
4342ex 436 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( 0  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  0
) ) )
44 elnn0uz 11198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  e.  NN0  <->  i  e.  (
ZZ>= `  0 ) )
45 peano2fzor 12017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ( ZZ>= ` 
0 )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) ) )
4644, 45sylanb 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
47463adant1 1024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )
48473expia 1208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) ) )
4948imim1d 79 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) )  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) ) ) )
50403ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  F : ( 0..^ (
# `  F )
) --> W )
5150, 47ffvelrnd 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  i
)  e.  W )
52 nn0p1nn 10911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( i  +  1 )  e.  NN )
53523ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  NN )
54 nnuz 11196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
5553, 54syl6eleq 2521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
56 elfzolt2b 11933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( i  +  1 )  e.  ( ( i  +  1 )..^ ( # `  F ) ) )
57563ad2ant3 1029 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( ( i  +  1 )..^ ( # `  F
) ) )
58 elfzo3 11938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  <->  ( ( i  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  ( i  +  1 )  e.  ( ( i  +  1 )..^ ( # `  F
) ) ) )
5955, 57, 58sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( i  +  1 )  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) )
607simp3bi 1023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  dom  S  ->  A. a  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 a )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) ) )
61603ad2ant1 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  A. a  e.  (
1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 a )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) ) )
62 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
a  -  1 )  =  ( ( i  +  1 )  - 
1 ) )
6362fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ( F `  ( a  -  1 ) )  =  ( F `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) )
6463fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) )  =  ( T `  ( F `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
6564rneqd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  ran  ( T `  ( F `
 ( a  - 
1 ) ) )  =  ran  ( T `
 ( F `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
6627, 65eleq12d 2505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  ( i  +  1 )  ->  (
( F `  a
)  e.  ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) )  <->  ( F `  ( i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
6766rspcv 3179 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( i  +  1 )  e.  ( 1..^ (
# `  F )
)  ->  ( A. a  e.  ( 1..^ ( # `  F
) ) ( F `
 a )  e. 
ran  ( T `  ( F `  ( a  -  1 ) ) )  ->  ( F `  ( i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `
 ( ( i  +  1 )  - 
1 ) ) ) ) )
6859, 61, 67sylc 63 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `  ( ( i  +  1 )  -  1 ) ) ) )
69 nn0cn 10881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  CC )
70693ad2ant2 1028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
i  e.  CC )
71 ax-1cn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
72 pncan 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( i  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
7370, 71, 72sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( i  +  1 )  -  1 )  =  i )
7473fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
( i  +  1 )  -  1 ) )  =  ( F `
 i ) )
7574fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( T `  ( F `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ( T `
 ( F `  i ) ) )
7675rneqd 5079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  ran  ( T `  ( F `  ( (
i  +  1 )  -  1 ) ) )  =  ran  ( T `  ( F `  i ) ) )
7768, 76eleqtrd 2513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  (
i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `  ( F `  i ) ) )
781, 2, 3, 4efgi2 17368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  i
)  e.  W  /\  ( F `  ( i  +  1 ) )  e.  ran  ( T `
 ( F `  i ) ) )  ->  ( F `  i )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
7951, 77, 78syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( F `  i
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) )
8036a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  ->  .~  Er  W )
8180ertr 7384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( ( F `
 0 )  .~  ( F `  i )  /\  ( F `  i )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
8279, 81mpan2d 679 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0  /\  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) ) )  -> 
( ( F ` 
0 )  .~  ( F `  i )  ->  ( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) )
83823expia 1208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( ( F ` 
0 )  .~  ( F `  i )  ->  ( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
8483a2d 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) )  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
8549, 84syld 46 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( ( i  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i ) )  ->  ( (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ (
# `  F )
)  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) )
8685expcom 437 . . . . . 6  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  i ) )  -> 
( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  (
i  +  1 ) ) ) ) ) )
8786a2d 30 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  ->  ( ( F  e.  dom  S  ->  ( i  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  i
) ) )  -> 
( F  e.  dom  S  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F ) )  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) )
8820, 25, 30, 35, 43, 87nn0ind 11032 . . . 4  |-  ( ( ( # `  F
)  -  1 )  e.  NN0  ->  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( ( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ) ) )
8915, 88mpcom 38 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( ( ( # `  F )  -  1 )  e.  ( 0..^ ( # `  F
) )  ->  ( F `  0 )  .~  ( F `  (
( # `  F )  -  1 ) ) ) )
9013, 89mpd 15 . 2  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  .~  ( F `  ( ( # `  F
)  -  1 ) ) )
911, 2, 3, 4, 5, 6efgsval 17374 . 2  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( S `  F
)  =  ( F `
 ( ( # `  F )  -  1 ) ) )
9290, 91breqtrrd 4448 1  |-  ( F  e.  dom  S  -> 
( F `  0
)  .~  ( S `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   {crab 2780    \ cdif 3434   (/)c0 3762   {csn 3997   <.cop 4003   <.cotp 4005   U_ciun 4297   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480    _I cid 4761    X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    |-> cmpt2 6305   1oc1o 7181   2oc2o 7182    Er wer 7366   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    - cmin 9862   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917   #chash 12516  Word cword 12654   splice csplice 12659   <"cs2 12933   ~FG cefg 17349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-ot 4006  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-ec 7371  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-concat 12664  df-s1 12665  df-substr 12666  df-splice 12667  df-s2 12940  df-efg 17352
This theorem is referenced by:  efgredeu  17395  efgred2  17396
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