Theorem efgsrel 16231

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	|- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Distinct variable groups:   y, z   t, n, v, w, y, z, m, x   m, M   x, n, M, t, v, w   k, m, t, x, T   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , m, t, x, y, z   m, I, n, t, v, w, x, y, z   D, m, t

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   I( k)   M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables a i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . . . . 6 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . . . . 6 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . . . . 6 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5		efgred.d	. . . . . 6 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
6		efgred.s	. . . . . 6 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 16227	. . . . 5 |- ( F e. dom S <-> ( F e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( F ` 0 ) e. D /\ A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) ) )
8	7	simp1bi 1003	. . . 4 |- ( F e. dom S -> F e. (Word W \ { (/) } ) )
9		eldifsn 4000	. . . . 5 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) <-> ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) )
10		lennncl 12250	. . . . 5 |- ( ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) -> ( # ` F ) e. NN )
11	9, 10	sylbi 195	. . . 4 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> ( # ` F ) e. NN )
12		fzo0end 11619	. . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
13	8, 11, 12	3syl 20	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
14		nnm1nn0 10621	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
15	8, 11, 14	3syl 20	. . . 4 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
16		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
17		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
18	17	breq2d 4304	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) ) )
21		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
22		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( a = i -> ( F ` a ) = ( F ` i ) )
23	22	breq2d 4304	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) )
24	21, 23	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = i -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
25	24	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = i -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) ) )
26		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
27		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( i + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4304	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
29	26, 28	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
30	29	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
31		eleq1 2503	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
32		fveq2 5691	. . . . . . . 8 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
33	32	breq2d 4304	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
34	31, 33	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
35	34	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) ) )
36	1, 2	efger 16215	. . . . . . . 8 |- .~ Er W
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
38		eldifi 3478	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> F e. Word W )
39		wrdf 12240	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Word W -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
40	8, 38, 39	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
41	40	ffvelrnda 5843	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) e. W )
42	37, 41	erref 7121	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) )
43	42	ex 434	. . . . 5 |- ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
44		elnn0uz 10898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 <-> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
45		peano2fzor 11632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
46	44, 45	sylanb 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
47	46	3adant1 1006	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
48	47	3expia 1189	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
49	48	imim1d 75	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
50	40	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
51	50, 47	ffvelrnd 5844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) e. W )
52		nn0p1nn 10619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN )
53	52	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. NN )
54		nnuz 10896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
55	53, 54	syl6eleq 2533	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56		elfzolt2b 11563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
57	56	3ad2ant3 1011	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
58		elfzo3 11568	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) ) )
59	55, 57, 58	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
60	7	simp3bi 1005	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. dom S -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
61	60	3ad2ant1 1009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
62		oveq1 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a - 1 ) = ( ( i + 1 ) - 1 ) )
63	62	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` ( a - 1 ) ) = ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) )
64	63	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
65	64	rneqd 5067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( i + 1 ) -> ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
66	27, 65	eleq12d 2511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) <-> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
67	66	rspcv 3069	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) -> ( A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
68	59, 61, 67	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
69		nn0cn 10589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> i e. CC )
70	69	3ad2ant2 1010	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. CC )
71		ax-1cn 9340	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
72		pncan 9616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
73	70, 71, 72	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
74	73	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) = ( F ` i ) )
75	74	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` i ) ) )
76	75	rneqd 5067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` i ) ) )
77	68, 76	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) )
78	1, 2, 3, 4	efgi2 16222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` i ) e. W /\ ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
79	51, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
80	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
81	80	ertr 7116	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) /\ ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
82	79, 81	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
83	82	3expia 1189	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
84	83	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
85	49, 84	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
86	85	expcom 435	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
87	86	a2d 26	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) -> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
88	20, 25, 30, 35, 43, 87	nn0ind 10738	. . . 4 |- ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
89	15, 88	mpcom 36	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
90	13, 89	mpd 15	. 2 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
91	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 16228	. 2 |- ( F e. dom S -> ( S ` F ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
92	90, 91	breqtrrd 4318	1 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2606   A.wral 2715   {crab 2719   \ cdif 3325   (/)c0 3637   {csn 3877   <.cop 3883   <.cotp 3885   U_ciun 4171   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   _I cid 4631   X. cxp 4838   dom cdm 4840   ran crn 4841   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   e. cmpt2 6093   1oc1o 6913   2oc2o 6914   Er wer 7098   CCcc 9280   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   - cmin 9595   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZ>=cuz 10861   ...cfz 11437  ..^cfzo 11548   #chash 12103  Word cword 12221   splice csplice 12226   <"cs2 12468   ~_FG cefg 16203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-ot 3886  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-card 8109  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-hash 12104  df-word 12229  df-concat 12231  df-s1 12232  df-substr 12233  df-splice 12234  df-s2 12475  df-efg 16206

This theorem is referenced by:  efgredeu  16249  efgred2  16250