Theorem efgsrel 17396

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	|- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Distinct variable groups:   y, z   t, n, v, w, y, z, m, x   m, M   x, n, M, t, v, w   k, m, t, x, T   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , m, t, x, y, z   m, I, n, t, v, w, x, y, z   D, m, t

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   I( k)   M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables a i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . . . . 6 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . . . . 6 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . . . . 6 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5		efgred.d	. . . . . 6 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
6		efgred.s	. . . . . 6 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 17392	. . . . 5 |- ( F e. dom S <-> ( F e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( F ` 0 ) e. D /\ A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) ) )
8	7	simp1bi 1024	. . . 4 |- ( F e. dom S -> F e. (Word W \ { (/) } ) )
9		eldifsn 4100	. . . . 5 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) <-> ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) )
10		lennncl 12695	. . . . 5 |- ( ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) -> ( # ` F ) e. NN )
11	9, 10	sylbi 199	. . . 4 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> ( # ` F ) e. NN )
12		fzo0end 12010	. . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
14		nnm1nn0 10918	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
15	8, 11, 14	3syl 18	. . . 4 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
16		eleq1 2519	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
17		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
18	17	breq2d 4417	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
19	16, 18	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) )
20	19	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) ) )
21		eleq1 2519	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
22		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( a = i -> ( F ` a ) = ( F ` i ) )
23	22	breq2d 4417	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) )
24	21, 23	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = i -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
25	24	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = i -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) ) )
26		eleq1 2519	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
27		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( i + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4417	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
29	26, 28	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
30	29	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
31		eleq1 2519	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
32		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
33	32	breq2d 4417	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
34	31, 33	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
35	34	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) ) )
36	1, 2	efger 17380	. . . . . . . 8 |- .~ Er W
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
38		eldifi 3557	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> F e. Word W )
39		wrdf 12683	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Word W -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
40	8, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
41	40	ffvelrnda 6027	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) e. W )
42	37, 41	erref 7388	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) )
43	42	ex 436	. . . . 5 |- ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
44		elnn0uz 11203	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 <-> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
45		peano2fzor 12023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
46	44, 45	sylanb 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
47	46	3adant1 1027	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
48	47	3expia 1211	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
49	48	imim1d 78	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
50	40	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
51	50, 47	ffvelrnd 6028	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) e. W )
52		nn0p1nn 10916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN )
53	52	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. NN )
54		nnuz 11201	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
55	53, 54	syl6eleq 2541	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56		elfzolt2b 11938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
57	56	3ad2ant3 1032	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
58		elfzo3 11943	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) ) )
59	55, 57, 58	sylanbrc 671	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
60	7	simp3bi 1026	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. dom S -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
61	60	3ad2ant1 1030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
62		oveq1 6302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a - 1 ) = ( ( i + 1 ) - 1 ) )
63	62	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` ( a - 1 ) ) = ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) )
64	63	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
65	64	rneqd 5065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( i + 1 ) -> ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
66	27, 65	eleq12d 2525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) <-> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
67	66	rspcv 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) -> ( A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
68	59, 61, 67	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
69		nn0cn 10886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> i e. CC )
70	69	3ad2ant2 1031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. CC )
71		ax-1cn 9602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
72		pncan 9886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
73	70, 71, 72	sylancl 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
74	73	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) = ( F ` i ) )
75	74	fveq2d 5874	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` i ) ) )
76	75	rneqd 5065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` i ) ) )
77	68, 76	eleqtrd 2533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) )
78	1, 2, 3, 4	efgi2 17387	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` i ) e. W /\ ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
79	51, 77, 78	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
80	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
81	80	ertr 7383	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) /\ ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
82	79, 81	mpan2d 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
83	82	3expia 1211	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
84	83	a2d 29	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
85	49, 84	syld 45	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
86	85	expcom 437	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
87	86	a2d 29	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) -> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
88	20, 25, 30, 35, 43, 87	nn0ind 11037	. . . 4 |- ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
89	15, 88	mpcom 37	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
90	13, 89	mpd 15	. 2 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
91	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 17393	. 2 |- ( F e. dom S -> ( S ` F ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
92	90, 91	breqtrrd 4432	1 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   {crab 2743   \ cdif 3403   (/)c0 3733   {csn 3970   <.cop 3976   <.cotp 3978   U_ciun 4281   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   _I cid 4747   X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   1oc1o 7180   2oc2o 7181   Er wer 7365   CCcc 9542   0cc0 9544   1c1 9545   + caddc 9547   - cmin 9865   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZ>=cuz 11166   ...cfz 11791  ..^cfzo 11922   #chash 12522  Word cword 12663   splice csplice 12668   <"cs2 12944   ~_FG cefg 17368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-ot 3979  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-ec 7370  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-cda 8603  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-hash 12523  df-word 12671  df-concat 12673  df-s1 12674  df-substr 12675  df-splice 12676  df-s2 12951  df-efg 17371

This theorem is referenced by:  efgredeu  17414  efgred2  17415