Theorem efgsrel 16545

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	|- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Distinct variable groups:   y, z   t, n, v, w, y, z, m, x   m, M   x, n, M, t, v, w   k, m, t, x, T   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , m, t, x, y, z   m, I, n, t, v, w, x, y, z   D, m, t

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   I( k)   M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables a i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . . . . 6 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . . . . 6 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . . . . 6 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5		efgred.d	. . . . . 6 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
6		efgred.s	. . . . . 6 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 16541	. . . . 5 |- ( F e. dom S <-> ( F e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( F ` 0 ) e. D /\ A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) ) )
8	7	simp1bi 1011	. . . 4 |- ( F e. dom S -> F e. (Word W \ { (/) } ) )
9		eldifsn 4152	. . . . 5 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) <-> ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) )
10		lennncl 12523	. . . . 5 |- ( ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) -> ( # ` F ) e. NN )
11	9, 10	sylbi 195	. . . 4 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> ( # ` F ) e. NN )
12		fzo0end 11868	. . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
13	8, 11, 12	3syl 20	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
14		nnm1nn0 10833	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
15	8, 11, 14	3syl 20	. . . 4 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
16		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
17		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
18	17	breq2d 4459	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
19	16, 18	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) )
20	19	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) ) )
21		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
22		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( a = i -> ( F ` a ) = ( F ` i ) )
23	22	breq2d 4459	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) )
24	21, 23	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = i -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
25	24	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = i -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) ) )
26		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
27		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( i + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4459	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
29	26, 28	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
30	29	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
31		eleq1 2539	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
32		fveq2 5864	. . . . . . . 8 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
33	32	breq2d 4459	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
34	31, 33	imbi12d 320	. . . . . 6 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
35	34	imbi2d 316	. . . . 5 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) ) )
36	1, 2	efger 16529	. . . . . . . 8 |- .~ Er W
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
38		eldifi 3626	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> F e. Word W )
39		wrdf 12513	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Word W -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
40	8, 38, 39	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
41	40	ffvelrnda 6019	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) e. W )
42	37, 41	erref 7328	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) )
43	42	ex 434	. . . . 5 |- ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
44		elnn0uz 11115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 <-> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
45		peano2fzor 11881	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
46	44, 45	sylanb 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
47	46	3adant1 1014	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
48	47	3expia 1198	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
49	48	imim1d 75	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
50	40	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
51	50, 47	ffvelrnd 6020	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) e. W )
52		nn0p1nn 10831	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN )
53	52	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. NN )
54		nnuz 11113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
55	53, 54	syl6eleq 2565	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56		elfzolt2b 11803	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
57	56	3ad2ant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
58		elfzo3 11808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) ) )
59	55, 57, 58	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
60	7	simp3bi 1013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. dom S -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
61	60	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
62		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a - 1 ) = ( ( i + 1 ) - 1 ) )
63	62	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` ( a - 1 ) ) = ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) )
64	63	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
65	64	rneqd 5228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( i + 1 ) -> ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
66	27, 65	eleq12d 2549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) <-> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
67	66	rspcv 3210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) -> ( A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
68	59, 61, 67	sylc 60	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
69		nn0cn 10801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> i e. CC )
70	69	3ad2ant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. CC )
71		ax-1cn 9546	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
72		pncan 9822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
73	70, 71, 72	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
74	73	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) = ( F ` i ) )
75	74	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` i ) ) )
76	75	rneqd 5228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` i ) ) )
77	68, 76	eleqtrd 2557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) )
78	1, 2, 3, 4	efgi2 16536	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` i ) e. W /\ ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
79	51, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
80	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
81	80	ertr 7323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) /\ ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
82	79, 81	mpan2d 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
83	82	3expia 1198	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
84	83	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
85	49, 84	syld 44	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
86	85	expcom 435	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
87	86	a2d 26	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) -> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
88	20, 25, 30, 35, 43, 87	nn0ind 10953	. . . 4 |- ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
89	15, 88	mpcom 36	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
90	13, 89	mpd 15	. 2 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
91	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 16542	. 2 |- ( F e. dom S -> ( S ` F ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
92	90, 91	breqtrrd 4473	1 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   {crab 2818   \ cdif 3473   (/)c0 3785   {csn 4027   <.cop 4033   <.cotp 4035   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   _I cid 4790   X. cxp 4997   dom cdm 4999   ran crn 5000   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   |-> cmpt2 6284   1oc1o 7120   2oc2o 7121   Er wer 7305   CCcc 9486   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   - cmin 9801   NNcn 10532   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668  ..^cfzo 11788   #chash 12367  Word cword 12494   splice csplice 12499   <"cs2 12763   ~_FG cefg 16517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-ot 4036  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-hash 12368  df-word 12502  df-concat 12504  df-s1 12505  df-substr 12506  df-splice 12507  df-s2 12770  df-efg 16520

This theorem is referenced by:  efgredeu  16563  efgred2  16564