Theorem efgsrel 17377

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	|- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Distinct variable groups:   y, z   t, n, v, w, y, z, m, x   m, M   x, n, M, t, v, w   k, m, t, x, T   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , m, t, x, y, z   m, I, n, t, v, w, x, y, z   D, m, t

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   I( k)   M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables a i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . . . . 6 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . . . . 6 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . . . . 6 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5		efgred.d	. . . . . 6 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
6		efgred.s	. . . . . 6 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 17373	. . . . 5 |- ( F e. dom S <-> ( F e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( F ` 0 ) e. D /\ A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) ) )
8	7	simp1bi 1021	. . . 4 |- ( F e. dom S -> F e. (Word W \ { (/) } ) )
9		eldifsn 4123	. . . . 5 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) <-> ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) )
10		lennncl 12686	. . . . 5 |- ( ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) -> ( # ` F ) e. NN )
11	9, 10	sylbi 199	. . . 4 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> ( # ` F ) e. NN )
12		fzo0end 12004	. . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
14		nnm1nn0 10913	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
15	8, 11, 14	3syl 18	. . . 4 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
16		eleq1 2495	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
17		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
18	17	breq2d 4433	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
19	16, 18	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) )
20	19	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) ) )
21		eleq1 2495	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
22		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( a = i -> ( F ` a ) = ( F ` i ) )
23	22	breq2d 4433	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) )
24	21, 23	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = i -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
25	24	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = i -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) ) )
26		eleq1 2495	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
27		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( i + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4433	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
29	26, 28	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
30	29	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
31		eleq1 2495	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
32		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
33	32	breq2d 4433	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
34	31, 33	imbi12d 322	. . . . . 6 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
35	34	imbi2d 318	. . . . 5 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) ) )
36	1, 2	efger 17361	. . . . . . . 8 |- .~ Er W
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
38		eldifi 3588	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> F e. Word W )
39		wrdf 12674	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Word W -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
40	8, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
41	40	ffvelrnda 6035	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) e. W )
42	37, 41	erref 7389	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) )
43	42	ex 436	. . . . 5 |- ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
44		elnn0uz 11198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 <-> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
45		peano2fzor 12017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
46	44, 45	sylanb 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
47	46	3adant1 1024	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
48	47	3expia 1208	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
49	48	imim1d 79	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
50	40	3ad2ant1 1027	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
51	50, 47	ffvelrnd 6036	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) e. W )
52		nn0p1nn 10911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN )
53	52	3ad2ant2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. NN )
54		nnuz 11196	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
55	53, 54	syl6eleq 2521	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56		elfzolt2b 11933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
57	56	3ad2ant3 1029	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
58		elfzo3 11938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) ) )
59	55, 57, 58	sylanbrc 669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
60	7	simp3bi 1023	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. dom S -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
61	60	3ad2ant1 1027	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
62		oveq1 6310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a - 1 ) = ( ( i + 1 ) - 1 ) )
63	62	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` ( a - 1 ) ) = ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) )
64	63	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
65	64	rneqd 5079	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( i + 1 ) -> ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
66	27, 65	eleq12d 2505	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) <-> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
67	66	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) -> ( A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
68	59, 61, 67	sylc 63	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
69		nn0cn 10881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> i e. CC )
70	69	3ad2ant2 1028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. CC )
71		ax-1cn 9599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
72		pncan 9883	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
73	70, 71, 72	sylancl 667	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
74	73	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) = ( F ` i ) )
75	74	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` i ) ) )
76	75	rneqd 5079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` i ) ) )
77	68, 76	eleqtrd 2513	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) )
78	1, 2, 3, 4	efgi2 17368	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` i ) e. W /\ ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
79	51, 77, 78	syl2anc 666	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
80	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
81	80	ertr 7384	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) /\ ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
82	79, 81	mpan2d 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
83	82	3expia 1208	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
84	83	a2d 30	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
85	49, 84	syld 46	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
86	85	expcom 437	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
87	86	a2d 30	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) -> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
88	20, 25, 30, 35, 43, 87	nn0ind 11032	. . . 4 |- ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
89	15, 88	mpcom 38	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
90	13, 89	mpd 15	. 2 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
91	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 17374	. 2 |- ( F e. dom S -> ( S ` F ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
92	90, 91	breqtrrd 4448	1 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   =/= wne 2619   A.wral 2776   {crab 2780   \ cdif 3434   (/)c0 3762   {csn 3997   <.cop 4003   <.cotp 4005   U_ciun 4297   class class class wbr 4421   |-> cmpt 4480   _I cid 4761   X. cxp 4849   dom cdm 4851   ran crn 4852   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   |-> cmpt2 6305   1oc1o 7181   2oc2o 7182   Er wer 7366   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542   + caddc 9544   - cmin 9862   NNcn 10611   NN0cn0 10871   ZZ>=cuz 11161   ...cfz 11786  ..^cfzo 11917   #chash 12516  Word cword 12654   splice csplice 12659   <"cs2 12933   ~_FG cefg 17349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-ot 4006  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-ec 7371  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-2 10670  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-hash 12517  df-word 12662  df-concat 12664  df-s1 12665  df-substr 12666  df-splice 12667  df-s2 12940  df-efg 17352

This theorem is referenced by:  efgredeu  17395  efgred2  17396