Theorem efgsrel 17076

Description: The start and end of any extension sequence are related (i.e. evaluate to the same element of the quotient group to be created). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
efgval.w	|- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
efgval.r	|- .~ = ( ~FG ` I )
efgval2.m	|- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
efgval2.t	|- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
efgred.d	|- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
efgred.s	|- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )

Assertion

Ref	Expression
efgsrel	|- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Distinct variable groups:   y, z   t, n, v, w, y, z, m, x   m, M   x, n, M, t, v, w   k, m, t, x, T   k, n, v, w, y, z, W, m, t, x   .~ , m, t, x, y, z   m, I, n, t, v, w, x, y, z   D, m, t

Allowed substitution hints:   D( x, y, z, w, v, k, n)   .~ ( w, v, k, n)   S( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   T( y, z, w, v, n)   F( x, y, z, w, v, t, k, m, n)   I( k)   M( y, z, k)

Proof of Theorem efgsrel

Dummy variables a i are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efgval.w	. . . . . 6 |- W = ( _I ` Word ( I X. 2o ) )
2		efgval.r	. . . . . 6 |- .~ = ( ~FG ` I )
3		efgval2.m	. . . . . 6 |- M = ( y e. I , z e. 2o |-> <. y , ( 1o \ z ) >. )
4		efgval2.t	. . . . . 6 |- T = ( v e. W |-> ( n e. ( 0 ... ( # ` v ) ) , w e. ( I X. 2o ) |-> ( v splice <. n , n , <" w ( M ` w ) "> >. ) ) )
5		efgred.d	. . . . . 6 |- D = ( W \ U_ x e. W ran ( T ` x ) )
6		efgred.s	. . . . . 6 |- S = ( m e. { t e. (Word W \ { (/) } ) | ( ( t ` 0 ) e. D /\ A. k e. ( 1..^ ( # ` t ) ) ( t ` k ) e. ran ( T ` ( t ` ( k - 1 ) ) ) ) } |-> ( m ` ( ( # ` m ) - 1 ) ) )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsdm 17072	. . . . 5 |- ( F e. dom S <-> ( F e. (Word W \ { (/) } ) /\ ( F ` 0 ) e. D /\ A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) ) )
8	7	simp1bi 1012	. . . 4 |- ( F e. dom S -> F e. (Word W \ { (/) } ) )
9		eldifsn 4097	. . . . 5 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) <-> ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) )
10		lennncl 12615	. . . . 5 |- ( ( F e. Word W /\ F =/= (/) ) -> ( # ` F ) e. NN )
11	9, 10	sylbi 195	. . . 4 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> ( # ` F ) e. NN )
12		fzo0end 11941	. . . 4 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
13	8, 11, 12	3syl 18	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
14		nnm1nn0 10878	. . . . 5 |- ( ( # ` F ) e. NN -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
15	8, 11, 14	3syl 18	. . . 4 |- ( F e. dom S -> ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 )
16		eleq1 2474	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
17		fveq2 5849	. . . . . . . 8 |- ( a = 0 -> ( F ` a ) = ( F ` 0 ) )
18	17	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( a = 0 -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
19	16, 18	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( a = 0 -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) )
20	19	imbi2d 314	. . . . 5 |- ( a = 0 -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) ) ) )
21		eleq1 2474	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
22		fveq2 5849	. . . . . . . 8 |- ( a = i -> ( F ` a ) = ( F ` i ) )
23	22	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( a = i -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) )
24	21, 23	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( a = i -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
25	24	imbi2d 314	. . . . 5 |- ( a = i -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) ) )
26		eleq1 2474	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
27		fveq2 5849	. . . . . . . 8 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( i + 1 ) ) )
28	27	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
29	26, 28	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
30	29	imbi2d 314	. . . . 5 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
31		eleq1 2474	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
32		fveq2 5849	. . . . . . . 8 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( F ` a ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
33	32	breq2d 4407	. . . . . . 7 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) <-> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
34	31, 33	imbi12d 318	. . . . . 6 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) <-> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
35	34	imbi2d 314	. . . . 5 |- ( a = ( ( # ` F ) - 1 ) -> ( ( F e. dom S -> ( a e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` a ) ) ) <-> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) ) )
36	1, 2	efger 17060	. . . . . . . 8 |- .~ Er W
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
38		eldifi 3565	. . . . . . . . 9 |- ( F e. (Word W \ { (/) } ) -> F e. Word W )
39		wrdf 12603	. . . . . . . . 9 |- ( F e. Word W -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
40	8, 38, 39	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
41	40	ffvelrnda 6009	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) e. W )
42	37, 41	erref 7368	. . . . . 6 |- ( ( F e. dom S /\ 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) )
43	42	ex 432	. . . . 5 |- ( F e. dom S -> ( 0 e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` 0 ) ) )
44		elnn0uz 11164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i e. NN0 <-> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
45		peano2fzor 11954	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
46	44, 45	sylanb 470	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
47	46	3adant1 1015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) )
48	47	3expia 1199	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) )
49	48	imim1d 75	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) )
50	40	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> F : ( 0..^ ( # ` F ) ) --> W )
51	50, 47	ffvelrnd 6010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) e. W )
52		nn0p1nn 10876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. NN0 -> ( i + 1 ) e. NN )
53	52	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. NN )
54		nnuz 11162	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
55	53, 54	syl6eleq 2500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
56		elfzolt2b 11870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
57	56	3ad2ant3 1020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) )
58		elfzo3 11875	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) <-> ( ( i + 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) /\ ( i + 1 ) e. ( ( i + 1 )..^ ( # ` F ) ) ) )
59	55, 57, 58	sylanbrc 662	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) )
60	7	simp3bi 1014	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. dom S -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
61	60	3ad2ant1 1018	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) )
62		oveq1 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( a - 1 ) = ( ( i + 1 ) - 1 ) )
63	62	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( F ` ( a - 1 ) ) = ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) )
64	63	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
65	64	rneqd 5051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a = ( i + 1 ) -> ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
66	27, 65	eleq12d 2484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a = ( i + 1 ) -> ( ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) <-> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
67	66	rspcv 3156	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i + 1 ) e. ( 1..^ ( # ` F ) ) -> ( A. a e. ( 1..^ ( # ` F ) ) ( F ` a ) e. ran ( T ` ( F ` ( a - 1 ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) ) )
68	59, 61, 67	sylc 59	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) )
69		nn0cn 10846	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( i e. NN0 -> i e. CC )
70	69	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> i e. CC )
71		ax-1cn 9580	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 1 e. CC
72		pncan 9862	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( i e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
73	70, 71, 72	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( i + 1 ) - 1 ) = i )
74	73	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) = ( F ` i ) )
75	74	fveq2d 5853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ( T ` ( F ` i ) ) )
76	75	rneqd 5051	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ran ( T ` ( F ` ( ( i + 1 ) - 1 ) ) ) = ran ( T ` ( F ` i ) ) )
77	68, 76	eleqtrd 2492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) )
78	1, 2, 3, 4	efgi2 17067	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` i ) e. W /\ ( F ` ( i + 1 ) ) e. ran ( T ` ( F ` i ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
79	51, 77, 78	syl2anc 659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) )
80	36	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> .~ Er W )
81	80	ertr 7363	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) /\ ( F ` i ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
82	79, 81	mpan2d 672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 /\ ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) )
83	82	3expia 1199	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
84	83	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
85	49, 84	syld 42	. . . . . . 7 |- ( ( F e. dom S /\ i e. NN0 ) -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) )
86	85	expcom 433	. . . . . 6 |- ( i e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
87	86	a2d 26	. . . . 5 |- ( i e. NN0 -> ( ( F e. dom S -> ( i e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` i ) ) ) -> ( F e. dom S -> ( ( i + 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( i + 1 ) ) ) ) ) )
88	20, 25, 30, 35, 43, 87	nn0ind 10998	. . . 4 |- ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. NN0 -> ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) ) )
89	15, 88	mpcom 34	. . 3 |- ( F e. dom S -> ( ( ( # ` F ) - 1 ) e. ( 0..^ ( # ` F ) ) -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) ) )
90	13, 89	mpd 15	. 2 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
91	1, 2, 3, 4, 5, 6	efgsval 17073	. 2 |- ( F e. dom S -> ( S ` F ) = ( F ` ( ( # ` F ) - 1 ) ) )
92	90, 91	breqtrrd 4421	1 |- ( F e. dom S -> ( F ` 0 ) .~ ( S ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   A.wral 2754   {crab 2758   \ cdif 3411   (/)c0 3738   {csn 3972   <.cop 3978   <.cotp 3980   U_ciun 4271   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   _I cid 4733   X. cxp 4821   dom cdm 4823   ran crn 4824   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   |-> cmpt2 6280   1oc1o 7160   2oc2o 7161   Er wer 7345   CCcc 9520   0cc0 9522   1c1 9523   + caddc 9525   - cmin 9841   NNcn 10576   NN0cn0 10836   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726  ..^cfzo 11854   #chash 12452  Word cword 12583   splice csplice 12588   <"cs2 12862   ~_FG cefg 17048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-ot 3981  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-substr 12595  df-splice 12596  df-s2 12869  df-efg 17051

This theorem is referenced by:  efgredeu  17094  efgred2  17095