Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wwlksnwwlksnon Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnwwlksnon 41121
 Description: A walk of fixed length is a walk of fixed length between two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnwwlksnon ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wwlksnwwlksnon
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 41063 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
21adantl 481 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
3 wwlksnwwlksnon.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43eqcomi 2619 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
54wrdeqi 13183 . . . . . . . . . 10 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
65eleq2i 2680 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76biimpi 205 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10 lbfzo0 12375 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
119, 10sylibr 223 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
1211ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
13 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(#‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
1413eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1514ad2antll 761 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (0 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1612, 15mpbird 246 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
17 wrdsymbcl 13173 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
188, 16, 17syl2an2 871 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
19 fzonn0p1 12411 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2019ad3antrrr 762 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2113eleq2d 2673 . . . . . . . . 9 ((#‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2221ad2antll 761 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2320, 22mpbird 246 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
24 wrdsymbcl 13173 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
258, 23, 24syl2an2 871 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
26 simplr 788 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))
27 eqidd 2611 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
28 eqidd 2611 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))
29 eqeq2 2621 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
30293anbi2d 1396 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
31 eqeq2 2621 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊𝑁) = 𝑏 ↔ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁)))
32313anbi3d 1397 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))))
3330, 32rspc2ev 3295 . . . . . 6 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3418, 25, 26, 27, 28, 33syl113anc 1330 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
352, 34mpdan 699 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3635ex 449 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
37 simp1 1054 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺))
3837a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)))
3938rexlimdvva 3020 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺)))
4036, 39impbid 201 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
413wwlknon 41053 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
4241bicomd 212 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4342adantl 481 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
44432rexbidva 3038 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4540, 44bitrd 267 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalkSN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146  Vtxcvtx 25673   WWalkSN cwwlksn 41029   WWalksNOn cwwlksnon 41030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034  df-wwlksnon 41035 This theorem is referenced by:  wspthsnwspthsnon  41122  elwwlks2  41170
 Copyright terms: Public domain W3C validator