Theorem facubnd 12949

Description: An upper bound for the factorial function. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)

Assertion

Ref	Expression
facubnd	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Proof of Theorem facubnd

Dummy variables 𝑚 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6103	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = (!‘0))
2		fac0 12925	. . . 4 ⊢ (!‘0) = 1
3	1, 2	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (!‘𝑚) = 1)
4		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 0 → 𝑚 = 0)
5	4, 4	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = (0↑0))
6		0exp0e1 12727	. . . 4 ⊢ (0↑0) = 1
7	5, 6	syl6eq 2660	. . 3 ⊢ (𝑚 = 0 → (𝑚↑𝑚) = 1)
8	3, 7	breq12d 4596	. 2 ⊢ (𝑚 = 0 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ 1 ≤ 1))
9		fveq2 6103	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (!‘𝑚) = (!‘𝑘))
10		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → 𝑚 = 𝑘)
11	10, 10	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚↑𝑚) = (𝑘↑𝑘))
12	9, 11	breq12d 4596	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)))
13		fveq2 6103	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑚) = (!‘(𝑘 + 1)))
14		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → 𝑚 = (𝑘 + 1))
15	14, 14	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → (𝑚↑𝑚) = ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
16	13, 15	breq12d 4596	. 2 ⊢ (𝑚 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
17		fveq2 6103	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (!‘𝑚) = (!‘𝑁))
18		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → 𝑚 = 𝑁)
19	18, 18	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → (𝑚↑𝑚) = (𝑁↑𝑁))
20	17, 19	breq12d 4596	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑁 → ((!‘𝑚) ≤ (𝑚↑𝑚) ↔ (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁)))
21		1le1 10534	. 2 ⊢ 1 ≤ 1
22		faccl 12932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
23	22	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
24	23	nnred 10912	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
25		nn0re 11178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
26	25	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℝ)
27		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
28	26, 27	reexpcld 12887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ∈ ℝ)
29		nn0p1nn 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
31	30	nnred 10912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
32	31, 27	reexpcld 12887	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ)
33		simpr 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘))
34		nn0ge0 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑘)
35	34	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 ≤ 𝑘)
36	26	lep1d 10834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))
37		leexp1a 12781	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑘 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (0 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ (𝑘 + 1))) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
38	26, 31, 27, 35, 36, 37	syl32anc 1326	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘↑𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
39	24, 28, 32, 33, 38	letrd 10073	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘))
40	30	nngt0d 10941	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → 0 < (𝑘 + 1))
41		lemul1 10754	. . . . . 6 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝑘 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘 + 1))) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
42	24, 32, 31, 40, 41	syl112anc 1322	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) ≤ ((𝑘 + 1)↑𝑘) ↔ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1))))
43	39, 42	mpbid 221	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) ≤ (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
44		facp1 12927	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
45	44	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
46	30	nncnd 10913	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
47	46, 27	expp1d 12871	. . . 4 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)) = (((𝑘 + 1)↑𝑘) · (𝑘 + 1)))
48	43, 45, 47	3brtr4d 4615	. . 3 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ0 ∧ (!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘)) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1)))
49	48	ex 449	. 2 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑘) ≤ (𝑘↑𝑘) → (!‘(𝑘 + 1)) ≤ ((𝑘 + 1)↑(𝑘 + 1))))
50	8, 12, 16, 20, 21, 49	nn0ind 11348	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ≤ (𝑁↑𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722  !cfa 12922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923

This theorem is referenced by:  logfacubnd  24746  pgrple2abl  41940