Theorem faclimlem2 30883

Description: Lemma for faclim 30885. Show a limit for the inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 15-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
faclimlem2	⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Distinct variable group:   𝑛,𝑀

Proof of Theorem faclimlem2

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		faclimlem1 30882	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))))
2		nnuz 11599	. . . 4 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
3		1zzd 11285	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
4		1cnd 9935	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
5		nn0p1nn 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
6	5	nnzd 11357	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
7		nnex 10903	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ∈ V
8	7	mptex 6390	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ∈ V)
10		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + 1) = (𝑘 + 1))
11		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → (𝑚 + (𝑀 + 1)) = (𝑘 + (𝑀 + 1)))
12	10, 11	oveq12d 6567	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
13		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))
14		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))) ∈ V
15	12, 13, 14	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
16	15	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) = ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1))))
17	2, 3, 4, 6, 9, 16	divcnvlin 30871	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) ⇝ 1)
18	5	nncnd 10913	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℂ)
19	7	mptex 6390	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ∈ V)
21		peano2nn 10909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
23	22	nnred 10912	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
24		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
25	5	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ)
26	24, 25	nnaddcld 10944	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + (𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
27	23, 26	nndivred 10946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
28	27	recnd 9947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
29	28, 13	fmptd 6292	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))):ℕ⟶ℂ)
30	29	ffvelrnda 6267	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘) ∈ ℂ)
31	12	oveq2d 6565	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑘 → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
32		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))
33		ovex 6577	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))) ∈ V
34	31, 32, 33	fvmpt 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
35	15	oveq2d 6565	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)) = ((𝑀 + 1) · ((𝑘 + 1) / (𝑘 + (𝑀 + 1)))))
36	34, 35	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
37	36	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1)))))‘𝑘) = ((𝑀 + 1) · ((𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))‘𝑘)))
38	2, 3, 17, 18, 20, 30, 37	climmulc2 14215	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ ((𝑀 + 1) · 1))
39	18	mulid1d 9936	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 + 1) · 1) = (𝑀 + 1))
40	38, 39	breqtrd 4609	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝑀 + 1) · ((𝑚 + 1) / (𝑚 + (𝑀 + 1))))) ⇝ (𝑀 + 1))
41	1, 40	eqbrtrd 4605	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((1 + (𝑀 / 𝑛)) · (1 + (1 / 𝑛))) / (1 + ((𝑀 + 1) / 𝑛))))) ⇝ (𝑀 + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068

This theorem is referenced by:  faclim  30885