MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Structured version   Unicode version

Theorem nn0p1nn 10835
Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 10547 . 2  |-  1  e.  NN
2 nn0nnaddcl 10827 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767  (class class class)co 6284   1c1 9493    + caddc 9495   NNcn 10536   NN0cn0 10795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633  df-nn 10537  df-n0 10796
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10838  elz2  10881  peano5uzi  10949  fseq1p1m1  11752  fzonn0p1  11860  nn0ennn  12057  expnbnd  12263  faccl  12331  facdiv  12333  facwordi  12335  faclbnd  12336  facubnd  12346  bcm1k  12361  bcp1n  12362  bcp1nk  12363  bcpasc  12367  hashf1  12472  fz1isolem  12476  wrdind  12665  wrd2ind  12666  ccats1swrdeqbi  12686  isercoll  13453  isercoll2  13454  iseralt  13470  bcxmas  13610  climcndslem1  13624  efcllem  13675  ruclem7  13830  ruclem8  13831  ruclem9  13832  sadcp1  13964  smupp1  13989  prmfac1  14118  iserodd  14218  pcfac  14277  1arith  14304  4sqlem12  14333  vdwlem11  14368  vdwlem12  14369  vdwlem13  14370  ramub1  14405  ramcl  14406  sylow1lem1  16424  efgsrel  16558  efgsp1  16561  lebnumii  21229  lmnn  21465  vitalilem4  21783  plyco  22401  dgrcolem2  22433  dgrco  22434  advlogexp  22792  cxpmul2  22826  atantayl3  23026  leibpilem2  23028  leibpi  23029  leibpisum  23030  log2cnv  23031  log2tlbnd  23032  log2ublem2  23034  log2ub  23036  birthdaylem2  23038  harmoniclbnd  23094  harmonicbnd4  23096  fsumharmonic  23097  chpp1  23185  chtublem  23242  bcmono  23308  bcp1ctr  23310  chtppilimlem1  23414  rplogsumlem2  23426  rpvmasumlem  23428  dchrisumlema  23429  dchrisumlem1  23430  dchrisum0flblem1  23449  dchrisum0lem1b  23456  dchrisum0lem1  23457  dchrisum0lem3  23460  selberg2lem  23491  pntrsumo1  23506  pntrlog2bndlem2  23519  pntrlog2bndlem4  23521  pntrlog2bndlem6a  23523  pntpbnd1  23527  pntpbnd2  23528  pntlemg  23539  pntlemj  23544  pntlemf  23546  qabvle  23566  ostth2lem2  23575  wwlknred  24427  wwlknredwwlkn  24430  wwlknredwwlkn0  24431  eupath2lem3  24683  minvecolem3  25496  minvecolem4  25500  signshnz  28216  facgam  28276  subfacval2  28299  erdsze2lem2  28316  cvmliftlem7  28404  fprodser  28686  fallfacval4  28770  faclimlem1  28773  faclimlem2  28774  faclimlem3  28775  faclim  28776  faclim2  28778  bpolycl  29419  bpolysum  29420  bpolydiflem  29421  fsumkthpow  29423  heiborlem4  29941  heiborlem6  29943  diophin  30338  rexrabdioph  30359  2rexfrabdioph  30361  3rexfrabdioph  30362  4rexfrabdioph  30363  6rexfrabdioph  30364  7rexfrabdioph  30365  elnn0rabdioph  30368  dvdsrabdioph  30375  irrapxlem4  30393  irrapxlem5  30394  2nn0ind  30513  jm2.27a  30579  itgpowd  30815  wallispilem3  31395  stirlinglem5  31406
  Copyright terms: Public domain W3C validator