MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Structured version   Unicode version

Theorem nn0p1nn 10831
Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 10542 . 2  |-  1  e.  NN
2 nn0nnaddcl 10823 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
31, 2mpan2 669 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10532  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  elnn0nn  10834  elz2  10877  peano5uzi  10947  fseq1p1m1  11756  fzonn0p1  11873  nn0ennn  12074  expnbnd  12280  faccl  12348  facdiv  12350  facwordi  12352  faclbnd  12353  facubnd  12363  bcm1k  12378  bcp1n  12379  bcp1nk  12380  bcpasc  12384  hashf1  12493  fz1isolem  12497  wrdind  12696  wrd2ind  12697  ccats1swrdeqbi  12717  isercoll  13575  isercoll2  13576  iseralt  13592  bcxmas  13732  climcndslem1  13746  fprodser  13841  efcllem  13898  ruclem7  14056  ruclem8  14057  ruclem9  14058  sadcp1  14192  smupp1  14217  prmfac1  14346  iserodd  14446  pcfac  14505  1arith  14532  4sqlem12  14561  vdwlem11  14596  vdwlem12  14597  vdwlem13  14598  ramub1  14633  ramcl  14634  sylow1lem1  16820  efgsrel  16954  efgsp1  16957  lebnumii  21635  lmnn  21871  vitalilem4  22189  plyco  22807  dgrcolem2  22840  dgrco  22841  advlogexp  23207  cxpmul2  23241  atantayl3  23470  leibpilem2  23472  leibpi  23473  leibpisum  23474  log2cnv  23475  log2tlbnd  23476  log2ublem2  23478  log2ub  23480  birthdaylem2  23483  harmoniclbnd  23539  harmonicbnd4  23541  fsumharmonic  23542  chpp1  23630  chtublem  23687  bcmono  23753  bcp1ctr  23755  chtppilimlem1  23859  rplogsumlem2  23871  rpvmasumlem  23873  dchrisumlema  23874  dchrisumlem1  23875  dchrisum0flblem1  23894  dchrisum0lem1b  23901  dchrisum0lem1  23902  dchrisum0lem3  23905  selberg2lem  23936  pntrsumo1  23951  pntrlog2bndlem2  23964  pntrlog2bndlem4  23966  pntrlog2bndlem6a  23968  pntpbnd1  23972  pntpbnd2  23973  pntlemg  23984  pntlemj  23989  pntlemf  23991  qabvle  24011  ostth2lem2  24020  wwlknred  24928  wwlknredwwlkn  24931  wwlknredwwlkn0  24932  eupath2lem3  25184  minvecolem3  25993  minvecolem4  25997  archiabllem1a  27972  signshnz  28815  facgam  28875  subfacval2  28898  erdsze2lem2  28915  cvmliftlem7  29003  fallfacval4  29409  faclimlem1  29412  faclimlem2  29413  faclimlem3  29414  faclim  29415  faclim2  29417  bpolycl  30045  bpolysum  30046  bpolydiflem  30047  fsumkthpow  30049  heiborlem4  30553  heiborlem6  30555  diophin  30948  rexrabdioph  30970  2rexfrabdioph  30972  3rexfrabdioph  30973  4rexfrabdioph  30974  6rexfrabdioph  30975  7rexfrabdioph  30976  elnn0rabdioph  30979  dvdsrabdioph  30986  irrapxlem4  31003  irrapxlem5  31004  2nn0ind  31123  jm2.27a  31189  itgpowd  31426  bccp1k  31490  binomcxplemrat  31499  binomcxplemfrat  31500  wallispilem3  32091  stirlinglem5  32102  ccats1pfxeqrex  32669  ccats1pfxeqbi  32678  fllog2  33462  blennnelnn  33470  dignn0flhalflem2  33510
  Copyright terms: Public domain W3C validator