Theorem nn0p1nn 10215

Description: A nonnegative integer plus 1 is a natural number. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 9967	. 2 |- 1 e. NN
2		nn0nnaddcl 10208	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN ) -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	mpan2 653	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1721  (class class class)co 6040   1c1 8947   + caddc 8949   NNcn 9956   NN0cn0 10177

This theorem is referenced by:  elnn0nn  10218  elz2  10254  peano5uzi  10314  fseq1p1m1  11077  nn0ennn  11273  expnbnd  11463  faccl  11531  facdiv  11533  facwordi  11535  faclbnd  11536  facubnd  11546  bcm1k  11561  bcp1n  11562  bcp1nk  11563  bcpasc  11567  hashf1  11661  fz1isolem  11665  wrdind  11746  isercoll  12416  isercoll2  12417  iseralt  12433  bcxmas  12570  climcndslem1  12584  efcllem  12635  ruclem7  12790  ruclem8  12791  ruclem9  12792  sadcp1  12922  smupp1  12947  prmfac1  13073  iserodd  13164  pcfac  13223  1arith  13250  4sqlem12  13279  vdwlem11  13314  vdwlem12  13315  vdwlem13  13316  ramub1  13351  ramcl  13352  sylow1lem1  15187  efgsrel  15321  efgsp1  15324  lebnumii  18944  lmnn  19169  vitalilem4  19456  plyco  20113  dgrcolem2  20145  dgrco  20146  advlogexp  20499  cxpmul2  20533  atantayl3  20732  leibpilem2  20734  leibpi  20735  leibpisum  20736  log2cnv  20737  log2tlbnd  20738  log2ublem2  20740  log2ub  20742  birthdaylem2  20744  harmoniclbnd  20800  harmonicbnd4  20802  fsumharmonic  20803  chpp1  20891  chtublem  20948  bcmono  21014  bcp1ctr  21016  chtppilimlem1  21120  rplogsumlem2  21132  rpvmasumlem  21134  dchrisumlema  21135  dchrisumlem1  21136  dchrisum0flblem1  21155  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem3  21166  selberg2lem  21197  pntrsumo1  21212  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem6a  21229  pntpbnd1  21233  pntpbnd2  21234  pntlemg  21245  pntlemj  21250  pntlemf  21252  qabvle  21272  ostth2lem2  21281  eupath2lem3  21654  minvecolem3  22331  minvecolem4  22335  facgam  24803  subfacval2  24826  erdsze2lem2  24843  cvmliftlem7  24931  fprodser  25228  faclimlem1  25310  faclimlem2  25311  faclimlem3  25312  faclim  25313  faclim2  25315  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  heiborlem4  26413  heiborlem6  26415  diophin  26721  rexrabdioph  26744  2rexfrabdioph  26746  3rexfrabdioph  26747  4rexfrabdioph  26748  6rexfrabdioph  26749  7rexfrabdioph  26750  elnn0rabdioph  26753  dvdsrabdioph  26760  irrapxlem4  26778  irrapxlem5  26779  2nn0ind  26898  jm2.27a  26966  wallispilem3  27683  stirlinglem5  27694

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-nn 9957  df-n0 10178