Theorem nn0p1nn 10937

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 10648. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	|- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 10647	. 2 |- 1 e. NN
2		nn0nnaddcl 10929	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ 1 e. NN ) -> ( N + 1 ) e. NN )
3	1, 2	mpan2 682	1 |- ( N e. NN0 -> ( N + 1 ) e. NN )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1897  (class class class)co 6314   1c1 9565   + caddc 9567   NNcn 10636   NN0cn0 10897

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-ov 6317  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-ltxr 9705  df-nn 10637  df-n0 10898

This theorem is referenced by:  elnn0nn  10940  elz2  10982  peano5uzi  11052  fseq1p1m1  11896  fzonn0p1  12020  nn0ennn  12223  expnbnd  12432  faccl  12500  facdiv  12503  facwordi  12505  faclbnd  12506  facubnd  12516  bcm1k  12531  bcp1n  12532  bcp1nk  12533  bcpasc  12537  hashf1  12652  fz1isolem  12656  wrdind  12869  wrd2ind  12870  ccats1swrdeqbi  12890  isercoll  13779  isercoll2  13780  iseralt  13799  bcxmas  13941  climcndslem1  13955  fprodser  14051  fallfacval4  14144  bpolycl  14153  bpolysum  14154  bpolydiflem  14155  fsumkthpow  14157  efcllem  14180  ruclem7  14336  ruclem8  14337  ruclem9  14338  sadcp1  14477  smupp1  14502  prmfac1  14719  iserodd  14833  pcfac  14892  1arith  14919  4sqlem12  14948  vdwlem11  14989  vdwlem12  14990  vdwlem13  14991  ramub1  15034  ramcl  15035  prmop1  15044  sylow1lem1  17298  efgsrel  17432  efgsp1  17435  lebnumii  22045  lmnn  22281  vitalilem4  22617  plyco  23243  dgrcolem2  23276  dgrco  23277  advlogexp  23648  cxpmul2  23682  atantayl3  23913  leibpilem2  23915  leibpi  23916  leibpisum  23917  log2cnv  23918  log2tlbnd  23919  log2ublem2  23921  log2ub  23923  birthdaylem2  23926  harmoniclbnd  23982  harmonicbnd4  23984  fsumharmonic  23985  facgam  24039  chpp1  24130  chtublem  24187  bcmono  24253  bcp1ctr  24255  chtppilimlem1  24359  rplogsumlem2  24371  rpvmasumlem  24373  dchrisumlema  24374  dchrisumlem1  24375  dchrisum0flblem1  24394  dchrisum0lem1b  24401  dchrisum0lem1  24402  dchrisum0lem3  24405  selberg2lem  24436  pntrsumo1  24451  pntrlog2bndlem2  24464  pntrlog2bndlem4  24466  pntrlog2bndlem6a  24468  pntpbnd1  24472  pntpbnd2  24473  pntlemg  24484  pntlemj  24489  pntlemf  24491  qabvle  24511  ostth2lem2  24520  wwlknred  25499  wwlknredwwlkn  25502  wwlknredwwlkn0  25503  eupath2lem3  25755  minvecolem3  26566  minvecolem4  26570  minvecolem3OLD  26576  minvecolem4OLD  26580  archiabllem1a  28556  lmatfvlem  28689  signshnz  29528  subfacval2  29958  erdsze2lem2  29975  cvmliftlem7  30062  faclimlem1  30427  faclimlem2  30428  faclimlem3  30429  faclim  30430  faclim2  30432  poimirlem3  31987  poimirlem4  31988  poimirlem12  31996  poimirlem15  31999  poimirlem16  32000  poimirlem17  32001  poimirlem19  32003  poimirlem20  32004  poimirlem23  32007  poimirlem24  32008  poimirlem25  32009  poimirlem28  32012  poimirlem29  32013  poimirlem31  32015  heiborlem4  32190  heiborlem6  32192  diophin  35659  rexrabdioph  35681  2rexfrabdioph  35683  3rexfrabdioph  35684  4rexfrabdioph  35685  6rexfrabdioph  35686  7rexfrabdioph  35687  elnn0rabdioph  35690  dvdsrabdioph  35697  irrapxlem4  35713  irrapxlem5  35714  2nn0ind  35837  jm2.27a  35904  itgpowd  36143  bccp1k  36733  binomcxplemrat  36742  binomcxplemfrat  36743  wallispilem3  37966  stirlinglem5  37977  ccats1pfxeqrex  39002  ccats1pfxeqbi  39011  wlkOnwlk1l  39712  fllog2  40651  blennnelnn  40659  dignn0flhalflem2  40699