Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wlkOnwlk1l Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkOnwlk1l 40871
 Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wlkOnwlk1l.w (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
Assertion
Ref Expression
wlkOnwlk1l (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkOnwlk1l
StepHypRef Expression
1 wlkOnwlk1l.w . 2 (𝜑𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
2 eqidd 2611 . 2 (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3 1wlklenvm1 40826 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
43fveq2d 6107 . . . 4 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
5 eqid 2610 . . . . . 6 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
651wlkpwrd 40822 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7 lsw 13204 . . . . 5 (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
86, 7syl 17 . . . 4 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
94, 8eqtr4d 2647 . . 3 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
101, 9syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
11 1wlkcl 40820 . . . . . . . 8 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
12 nn0p1nn 11209 . . . . . . . 8 ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
1311, 12syl 17 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14 1wlklenvp1 40823 . . . . . . 7 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
1513, 6, 14jca32 556 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))))
16 fstwrdne0 13200 . . . . . . 7 ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17 lswlgt0cl 13209 . . . . . . 7 ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
1816, 17jca 553 . . . . . 6 ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
1915, 18syl 17 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20 eqid 2610 . . . . . . 7 (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21201wlkf 40819 . . . . . 6 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22 wrdv 13175 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
2321, 22syl 17 . . . . 5 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word V)
2419, 23, 6jca32 556 . . . 4 (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
251, 24syl 17 . . 3 (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
265iswlkOn 40865 . . 3 ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))))
2725, 26syl 17 . 2 (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))))
281, 2, 10, 27mpbir3and 1238 1 (𝜑𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  WalksOncwlkson 40798 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802 This theorem is referenced by:  31wlkond  41338
 Copyright terms: Public domain W3C validator