Theorem wlkOnwlk1l 40871

Description: A walk is a walk from its first vertex to its last vertex. (Contributed by AV, 7-Feb-2021.) (Revised by AV, 22-Mar-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
wlkOnwlk1l.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)

Assertion

Ref	Expression
wlkOnwlk1l	⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃)

Proof of Theorem wlkOnwlk1l

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkOnwlk1l.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃)
2		eqidd 2611	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘0))
3		1wlklenvm1 40826	. . . . 5 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) = ((#‘𝑃) − 1))
4	3	fveq2d 6107	. . . 4 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
5		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
6	5	1wlkpwrd 40822	. . . . 5 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
7		lsw 13204	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ( lastS ‘𝑃) = (𝑃‘((#‘𝑃) − 1)))
9	4, 8	eqtr4d 2647	. . 3 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
10	1, 9	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))
11		1wlkcl 40820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝐹) ∈ ℕ0)
12		nn0p1nn 11209	. . . . . . . 8 ⊢ ((#‘𝐹) ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ)
14		1wlklenvp1 40823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))
15	13, 6, 14	jca32 556	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))))
16		fstwrdne0 13200	. . . . . . 7 ⊢ ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → (𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺))
17		lswlgt0cl 13209	. . . . . . 7 ⊢ ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺))
18	16, 17	jca 553	. . . . . 6 ⊢ ((((#‘𝐹) + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑃) = ((#‘𝐹) + 1))) → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
19	15, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → ((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)))
20		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (iEdg‘𝐺) = (iEdg‘𝐺)
21	20	1wlkf 40819	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺))
22		wrdv 13175	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom (iEdg‘𝐺) → 𝐹 ∈ Word V)
23	21, 22	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word V)
24	19, 23, 6	jca32 556	. . . 4 ⊢ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
25	1, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))))
26	5	iswlkOn 40865	. . 3 ⊢ ((((𝑃‘0) ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ( lastS ‘𝑃) ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝐹 ∈ Word V ∧ 𝑃 ∈ Word (Vtx‘𝐺))) → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))))
27	25, 26	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃 ↔ (𝐹(1Walks‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘0) ∧ (𝑃‘(#‘𝐹)) = ( lastS ‘𝑃))))
28	1, 2, 10, 27	mpbir3and 1238	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹((𝑃‘0)(WalksOn‘𝐺)( lastS ‘𝑃))𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   class class class wbr 4583  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147  Vtxcvtx 25673  iEdgciedg 25674  1Walksc1wlks 40796  WalksOncwlkson 40798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-ifp 1007  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-1wlks 40800  df-wlkson 40802

This theorem is referenced by:  31wlkond  41338