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Theorem wwlknred 26251
 Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknred (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))

Proof of Theorem wwlknred
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 26214 . . 3 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)))
2 simpl 472 . . . . . . 7 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
32anim2i 591 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
4 df-3an 1033 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) ↔ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
53, 4sylibr 223 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0))
6 iswwlkn 26212 . . . . 5 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
75, 6syl 17 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
8 iswwlk 26211 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
98adantr 480 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
10 simp1 1054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
11 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12113ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1413nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1514lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
16153ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
17 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
18173ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
1916, 18mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))
20 swrdn0 13282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
2110, 12, 19, 20syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
22213exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
23223ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
2423imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
2524com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
2625adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
2726imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
28 swrdcl 13271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
29283ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
3029adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
3130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
32 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
3313nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
34 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3533, 34pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
3632, 35sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
3736oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3837raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
3938adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
40 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
41 nn0z 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
4213, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
4443lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
4540, 42, 443jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
4645ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
47 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
4846, 47sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
49 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
51 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
53 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
55 nn0fz0 12306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5613, 55sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
5756ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
58 fzelp1 12263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
60 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6160eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
6362adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
6459, 63mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
66 fzossfzop1 12412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
6766sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6867ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
6968imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
70 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
7154, 65, 69, 70syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
7271eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊𝑖) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖))
73 fzofzp1 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
7473adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
75 fzval3 12404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
7675eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7740, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
7877eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
7978ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
8079adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
8174, 80mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
82 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
8354, 65, 81, 82syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
8483eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)))
8572, 84preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))})
8685eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8786biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8887ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8952, 88syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9039, 89sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9190imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
92 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
9392, 34pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
9493oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
9594ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
9695adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
9796raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9891, 97mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9913ad2antll 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
100 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
101100adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
102 swrd0len0 13288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
10353, 99, 101, 102syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
104103oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
105104oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
106105raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
10898, 107mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
109108exp31 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
110109com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
111110imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
1121113adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
113112expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
114113imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
115114com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
116115adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
117116imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
11827, 31, 1173jca 1235 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
119 iswwlk 26211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
121120adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
122118, 121mpbird 246 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
123 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
12413, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
125 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
12613, 124, 15, 125syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
127126adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
128127, 62mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
129128anim2i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
130129exp32 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))))
1311303ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))))
132131imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
133132com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
134133adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
135134imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
136 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
137135, 136syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
138 iswwlkn 26212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
1391383expa 1257 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
141122, 137, 140mpbir2and 959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))
142141ex 449 . . . . . . . . . 10 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))
143142expcom 450 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
144143com3l 87 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
145144adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
146145expd 451 . . . . . 6 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))))
1479, 146sylbid 229 . . . . 5 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))))
148147impd 446 . . . 4 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
1497, 148sylbid 229 . . 3 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
1501, 149mpcom 37 . 2 (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))
151150com12 32 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ran crn 5039  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150   WWalks cwwlk 26205   WWalksN cwwlkn 26206 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208 This theorem is referenced by:  wwlknextbi  26253  wwlknredwwlkn  26254
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