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Theorem wwlknred 26251

Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)

**Assertion**
Ref	Expression
wwlknred	⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))

Proof of Theorem wwlknred Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknprop 26214	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)))
2		simpl 472	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
3	2	anim2i 591	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀))
4		df-3an 1033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀) ↔ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀))
5	3, 4	sylibr 223	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀))
6		iswwlkn 26212	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) ↔ (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
8		iswwlk 26211	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
9	8	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
10		simp1 1054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
11		nn0p1nn 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
12	11	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
13		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
14	13	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	14	lep1d 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
16	15	3ad2ant3 1077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
17		breq2 4587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
18	17	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
19	16, 18	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))
20		swrdn0 13282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
21	10, 12, 19, 20	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
22	21	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
23	22	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)))
24	23	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
25	24	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅))
27	26	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅)
28		swrdcl 13271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
29	28	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉)
32		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
33	13	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
34		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 1 ∈ ℂ)
35	33, 34	pncand 10272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
36	32, 35	sylan9eq 2664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((#‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1))
37	36	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (0..^((#‘𝑊) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
38	37	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
39	38	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
40		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℤ)
41		nn0z 11277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
42	13, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
43		nn0re 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℝ)
44	43	lep1d 10834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
45	40, 42, 44	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
46	45	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
47		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
48	46, 47	sylibr 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁))
49		fzoss2 12365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘𝑁) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
51		ssralv 3629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
53		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
55		nn0fz0 12306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
56	13, 55	sylib 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
57	56	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)))
58		fzelp1 12263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
60		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(#‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
61	60	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
63	62	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1))))
64	59, 63	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
66		fzossfzop1 12412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
67	66	sseld 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
68	67	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
69	68	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
70		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
71	54, 65, 69, 70	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
72	71	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘𝑖) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖))
73		fzofzp1 12431	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
74	73	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁))
75		fzval3 12404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0...𝑁) = (0..^(𝑁 + 1)))
76	75	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
77	40, 76	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (0..^(𝑁 + 1)) = (0...𝑁))
78	77	eleq2d 2673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
79	78	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
80	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑁)))
81	74, 80	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
82		swrd0fv 13291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
83	54, 65, 81, 82	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
84	83	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1)))
85	72, 84	preq12d 4220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))})
86	85	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
87	86	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
88	87	ralimdva 2945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
89	52, 88	syld 46	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
90	39, 89	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
91	90	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
92		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → 𝑁 ∈ ℂ)
93	92, 34	pncand 10272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
94	93	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
95	94	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
96	95	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
97	96	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
98	91, 97	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
99	13	ad2antll 761	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀)
100		simpl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
101	100	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
102		swrd0len0 13288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
103	53, 99, 101, 102	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
104	103	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → ((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
105	104	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
106	105	raleqdv 3121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^((𝑁 + 1) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
108	98, 107	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
109	108	exp31 628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
110	109	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
111	110	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
112	111	3adant1 1072	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
113	112	expd 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
114	113	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
115	114	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
116	115	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
117	116	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
118	27, 31, 117	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
119		iswwlk 26211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
120	119	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ≠ ∅ ∧ (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) − 1)){((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘𝑖), ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
122	118, 121	mpbird 246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸))
123		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ₀)
124	13, 123	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ₀)
125		elfz2nn0 12300	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ₀ ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
126	13, 124, 15, 125	syl3anbrc 1239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
127	126	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
128	127, 62	mpbird 246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
129	128	anim2i 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
130	129	exp32 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))))
131	130	3ad2ant2 1076	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))))
132	131	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
133	132	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
134	133	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))))
135	134	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))))
136		swrd0len 13274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
137	135, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
138		iswwlkn 26212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
139	138	3expa 1257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
140	139	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
141	122, 137, 140	mpbir2and 959	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) ∧ ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))
142	141	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ 𝑁 ∈ ℕ₀) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))
143	142	expcom 450	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
144	143	com3l 87	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
145	144	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
146	145	expd 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑊 ≠ ∅ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑊) − 1)){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))))
147	9, 146	sylbid 229	. . . . 5 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))))
148	147	impd 446	. . . 4 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
149	7, 148	sylbid 229	. . 3 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ₀ ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉)) → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁))))
150	1, 149	mpcom 37	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))
151	150	com12 32	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ₀ → (𝑊 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘(𝑁 + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ⊆ wss 3540 ∅c0 3874 {cpr 4127 ⟨cop 4131 class class class wbr 4583 ran crn 5039 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 ≤ cle 9954 − cmin 10145 ℕcn 10897 ℕ₀cn0 11169 ℤcz 11254 ℤ_≥cuz 11563 ...cfz 12197 ..^cfzo 12334 #chash 12979 Word cword 13146 substr csubstr 13150 WWalks cwwlk 26205 WWalksN cwwlkn 26206

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-card 8648 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-nn 10898 df-n0 11170 df-z 11255 df-uz 11564 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-hash 12980 df-word 13154 df-substr 13158 df-wwlk 26207 df-wwlkn 26208

This theorem is referenced by: wwlknextbi 26253 wwlknredwwlkn 26254

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