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Theorem wwlknred 24415
Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknred  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )

Proof of Theorem wwlknred
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 24378 . . 3  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )
) )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
32anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )
4 df-3an 975 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )
53, 4sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 ) )
6 iswwlkn 24376 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
8 iswwlk 24375 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <-> 
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
10 simp1 996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V )
11 nn0p1nn 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12113ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
13 peano2nn0 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1413nn0red 10852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
1514lep1d 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
16153ad2ant3 1019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
17 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
18173ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
1916, 18mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) )
20 swrdn0 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  NN  /\  ( N  +  1
)  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) )
2110, 12, 19, 20syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) )
22213exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) ) ) )
23223ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =/=  (/) ) ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2524com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =/=  (/) )
28 swrdcl 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V )
29283ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e. Word  V )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V )
32 oveq1 6290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
33 nn0cn 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3413, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
35 ax-1cn 9549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3734, 36pncand 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
3832, 37sylan9eq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3938oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
4039raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
42 nn0z 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
43 nn0z 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4413, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
45 nn0re 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4645lep1d 10476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( N  +  1 ) )
4742, 44, 463jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
4847ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( N  +  1 ) ) )
49 eluz2 11087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( N  +  1 ) ) )
5048, 49sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  N ) )
51 fzoss2 11820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
53 ssralv 3564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  + 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
55 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  W  e. Word  V
)
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  W  e. Word  V
)
57 nn0fz0 11772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  <->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5813, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5958ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
60 fzelp1 11731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
62 oveq2 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
0 ... ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
6362eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  <-> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6661, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
68 fzossfzop1 11860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
6968sseld 3503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7069ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
72 swrd0fv 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i )  =  ( W `  i ) )
7356, 67, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i )  =  ( W `  i ) )
7473eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( W `  i )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) )
75 fzofzp1 11876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
77 fzval3 11852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... N )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
7877eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
7942, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
8079eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8180ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <-> 
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <-> 
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8376, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
84 swrd0fv 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( W `
 ( i  +  1 ) ) )
8556, 67, 83, 84syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( i  +  1 ) ) )
8685eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) )
8774, 86preq12d 4114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) } )
8887eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8988biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  i
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9089ralimdva 2872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9154, 90syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9241, 91sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9392imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
94 nn0cn 10804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
9594, 36pncand 9930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9695oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9796ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9998raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
10093, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
10113ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
102 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
104 swrd0len0 12622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
10555, 101, 103, 104syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) )
106105oveq1d 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
107106oveq2d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
108107raleqdv 3064 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
110100, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
111110exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
112111com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
113112imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1141133adant1 1014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
115114expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
116115imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
117116com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
119118imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
12027, 31, 1193jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
121 iswwlk 24375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  <-> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
124120, 123mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) )
125 peano2nn0 10835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
12613, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
127 elfz2nn0 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
12813, 126, 15, 127syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
129128adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
130129, 64mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
131130anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
132131exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) ) )
1331323ad2ant2 1018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) ) ) )
134133imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
135134com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
137136imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
138 swrd0len 12611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) )
140 iswwlkn 24376 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
1411403expa 1196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
143124, 139, 142mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )
144143ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) )
145144expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
146145com3l 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
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NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
147146adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
148147expd 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) ) )
1499, 148sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) ) )
150149impd 431 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
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0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) )
1517, 150sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
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NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
1521, 151mpcom 36 . 2  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )
153152com12 31 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {cpr 4029   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ran crn 5000   ` cfv 5587  (class class class)co 6283   CCcc 9489   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494    <_ cle 9628    - cmin 9804   NNcn 10535   NN0cn0 10794   ZZcz 10863   ZZ>=cuz 11081   ...cfz 11671  ..^cfzo 11791   #chash 12372  Word cword 12499   substr csubstr 12503   WWalks cwwlk 24369   WWalksN cwwlkn 24370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8319  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-nn 10536  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-hash 12373  df-word 12507  df-substr 12511  df-wwlk 24371  df-wwlkn 24372
This theorem is referenced by:  wwlknextbi  24417  wwlknredwwlkn  24418
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