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Theorem wwlknred 30308
Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknred  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )

Proof of Theorem wwlknred
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 30273 . . 3  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )
) )
2 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
32anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )
4 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )
53, 4sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 ) )
6 iswwlkn 30271 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
8 iswwlk 30270 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
98adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <-> 
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
10 simp1 988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V )
11 nn0p1nn 10611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12113ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
13 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1413nn0red 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
1514lep1d 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
16153ad2ant3 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
17 breq2 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
18173ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
1916, 18mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) )
20 swrdn0 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  NN  /\  ( N  +  1
)  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) )
2110, 12, 19, 20syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) )
22213exp 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) ) ) )
23223ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =/=  (/) ) ) )
2423imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2524com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2625adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2726imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =/=  (/) )
28 swrdcl 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V )
29283ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e. Word  V )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V )
32 oveq1 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
33 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
3413, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
35 ax-1cn 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  1  e.  CC
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3734, 36pncand 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
3832, 37sylan9eq 2490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3938oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
4039raleqdv 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
4140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
42 nn0z 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
43 nn0z 10661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4413, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
45 nn0re 10580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4645lep1d 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( N  +  1 ) )
4742, 44, 463jca 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
4847ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( N  +  1 ) ) )
49 eluz2 10859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( N  +  1 ) ) )
5048, 49sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  N ) )
51 fzoss2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
53 ssralv 3411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  + 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5452, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
55 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  W  e. Word  V
)
5655adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  W  e. Word  V
)
57 nn0fz0 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  <->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5813, 57sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5958ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
60 fzelp1 11499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
62 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
0 ... ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
6362eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6463adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  <-> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6661, 65mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
6766adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
68 fzossfzop1 11602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
6968sseld 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7069ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
7170imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
72 swrd0fv 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i )  =  ( W `  i ) )
7356, 67, 71, 72syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i )  =  ( W `  i ) )
7473eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( W `  i )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) )
75 fzofzp1 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
7675adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
77 fzval3 11597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... N )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
7877eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
7942, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
8079eleq2d 2505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8180ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <-> 
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <-> 
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8376, 82mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
84 swrd0fv 12327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( W `
 ( i  +  1 ) ) )
8556, 67, 83, 84syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( i  +  1 ) ) )
8685eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) )
8774, 86preq12d 3957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) } )
8887eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8988biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  i
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
9089ralimdva 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9154, 90syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9241, 91sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9392imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
94 nn0cn 10581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
9594, 36pncand 9712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9695oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9796ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9897adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9998raleqdv 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
10093, 99mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
10113ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
102 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
103102adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
104 swrd0len0 12321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
10555, 101, 103, 104syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) )
106105oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
107106oveq2d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
108107raleqdv 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
110100, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
111110exp31 604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
112111com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
113112imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1141133adant1 1006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
115114expd 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
116115imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
117116com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
118117adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
119118imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
12027, 31, 1193jca 1168 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
121 iswwlk 30270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  <-> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
123122adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
124120, 123mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) )
125 peano2nn0 10612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
12613, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
127 elfz2nn0 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
12813, 126, 15, 127syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
129128adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
130129, 64mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
131130anim2i 569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
132131exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) ) )
1331323ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) ) ) )
134133imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
135134com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
136135adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
137136imp 429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
138 swrd0len 12310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
139137, 138syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) )
140 iswwlkn 30271 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
1411403expa 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
142141adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
143124, 139, 142mpbir2and 913 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )
144143ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) )
145144expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
146145com3l 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
147146adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
148147expd 436 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) ) )
1499, 148sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) ) )
150149impd 431 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) )
1517, 150sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
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) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
1521, 151mpcom 36 . 2  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )
153152com12 31 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   (/)c0 3632   {cpr 3874   <.cop 3878   class class class wbr 4287   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ...cfz 11429  ..^cfzo 11540   #chash 12095  Word cword 12213   substr csubstr 12217   WWalks cwwlk 30264   WWalksN cwwlkn 30265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-hash 12096  df-word 12221  df-substr 12225  df-wwlk 30266  df-wwlkn 30267
This theorem is referenced by:  wwlknextbi  30310  wwlknredwwlkn  30311
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