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Theorem wwlknred 24928
Description: Reduction of a walk (as word) by removing the trailing edge/vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
wwlknred  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )

Proof of Theorem wwlknred
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 wwlknprop 24891 . . 3  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  (
( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )
) )
2 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN0 )
32anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )
4 df-3an 973 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  <->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 ) )
53, 4sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( V  e.  _V  /\  E  e. 
_V  /\  ( N  +  1 )  e. 
NN0 ) )
6 iswwlkn 24889 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  ( N  +  1 )  e.  NN0 )  -> 
( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  <->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
75, 6syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  ( N  +  1 ) )  <-> 
( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
8 iswwlk 24888 . . . . . . 7  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
98adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  <-> 
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
10 simp1 994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  W  e. Word  V )
11 nn0p1nn 10831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
12113ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
13 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
1413nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  RR )
1514lep1d 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  <_ 
( ( N  + 
1 )  +  1 ) )
16153ad2ant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
17 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
18173ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( N  +  1 )  <_  ( # `  W
)  <->  ( N  + 
1 )  <_  (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
1916, 18mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( N  +  1 )  <_  ( # `  W
) )
20 swrdn0 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  NN  /\  ( N  +  1
)  <_  ( # `  W
) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) )
2110, 12, 19, 20syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) )
22213exp 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/) ) ) )
23223ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =/=  (/) ) ) )
2423imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2524com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2625adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/) ) )
2726imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  =/=  (/) )
28 swrdcl 12638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V )
29283ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V )
3029adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e. Word  V )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V )
32 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( # `  W )  -  1 )  =  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 ) )
3313nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  CC )
34 1cnd 9601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
3533, 34pncand 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( N  +  1 )  +  1 )  -  1 )  =  ( N  +  1 ) )
3632, 35sylan9eq 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  W
)  -  1 )  =  ( N  + 
1 ) )
3736oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
3837raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
3938adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
40 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
41 nn0z 10883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
4213, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
43 nn0re 10800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
4443lep1d 10472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  <_ 
( N  +  1 ) )
4540, 42, 443jca 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_  ( N  +  1 ) ) )
4645ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( N  +  1 ) ) )
47 eluz2 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  <->  ( N  e.  ZZ  /\  ( N  +  1 )  e.  ZZ  /\  N  <_ 
( N  +  1 ) ) )
4846, 47sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  (
ZZ>= `  N ) )
49 fzoss2 11830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
51 ssralv 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( 0..^ N )  C_  ( 0..^ ( N  + 
1 ) )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i
) ,  ( W `
 ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
53 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  W  e. Word  V
)
5453adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  W  e. Word  V
)
55 nn0fz0 11778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  <->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5613, 55sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
5756ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) ) )
58 fzelp1 11736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( N  +  1 ) )  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) ) )
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
60 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
0 ... ( # `  W
) )  =  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
6160eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( (
# `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  (
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6261adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) )  <->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6362adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) )  <-> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) ) )
6459, 63mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
6564adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) )
66 fzossfzop1 11874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ N )  C_  (
0..^ ( N  + 
1 ) ) )
6766sseld 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
6867ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) ) )
6968imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  i  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
70 swrd0fv 12658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i )  =  ( W `  i ) )
7154, 65, 69, 70syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i )  =  ( W `  i ) )
7271eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( W `  i )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) )
73 fzofzp1 11890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( i  e.  ( 0..^ N )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N
) )
7473adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) )
75 fzval3 11866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0 ... N )  =  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )
7675eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
0..^ ( N  + 
1 ) )  =  ( 0 ... N
) )
7740, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  =  ( 0 ... N ) )
7877eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <->  ( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
7978ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <-> 
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8079adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) )  <-> 
( i  +  1 )  e.  ( 0 ... N ) ) )
8174, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  + 
1 ) ) )
82 swrd0fv 12658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) )  /\  (
i  +  1 )  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  (
i  +  1 ) )  =  ( W `
 ( i  +  1 ) ) )
8354, 65, 81, 82syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) )  =  ( W `  ( i  +  1 ) ) )
8483eqcomd 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( W `  ( i  +  1 ) )  =  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) )
8572, 84preq12d 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  =  {
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) } )
8685eleq1d 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8786biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  i  e.  ( 0..^ N ) )  ->  ( { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  { (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. ) `  i
) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
8887ralimdva 2862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
8952, 88syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( N  +  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9039, 89sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9190imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
92 nn0cn 10801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  CC )
9392, 34pncand 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  -  1 )  =  N )
9493oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9594ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9695adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 0..^ N ) )
9796raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  + 
1 )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ N ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
9891, 97mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)
9913ad2antll 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( N  + 
1 )  e.  NN0 )
100 simpl 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
101100adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )
102 swrd0len0 12655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  NN0  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
10353, 99, 101, 102syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) )
104103oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 )  =  ( ( N  +  1 )  - 
1 ) )
105104oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) )  =  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) )
106105raleqdv 3057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
107106adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  <->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( N  +  1 )  - 
1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
10898, 107mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
109108exp31 602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) ) )
110109com23 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( W  e. Word  V  ->  ( A. i  e.  (
0..^ ( ( # `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
111110imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  W
)  -  1 ) ) { ( W `
 i ) ,  ( W `  (
i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
1121113adant1 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
113112expd 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
114113imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
115114com12 31 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
116115adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
) )
117116imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E )
11827, 31, 1173jca 1174 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) )
119 iswwlk 24888 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( V WWalks  E )  <-> 
( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
120119adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
121120adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  =/=  (/)  /\  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  -  1 ) ) { ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  i ) ,  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. ) `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E ) ) )
122118, 121mpbird 232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E ) )
123 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
12413, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( N  +  1 )  +  1 )  e. 
NN0 )
125 elfz2nn0 11773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  + 
1 )  +  1 ) )  <->  ( ( N  +  1 )  e.  NN0  /\  (
( N  +  1 )  +  1 )  e.  NN0  /\  ( N  +  1 )  <_  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
12613, 124, 15, 125syl3anbrc 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... (
( N  +  1 )  +  1 ) ) )
127126adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )
128127, 62mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )
129128anim2i 567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  /\  N  e.  NN0 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) )
130129exp32 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( W  e. Word  V  ->  (
( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) ) ) ) )
1311303ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) ) ) )
132131imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
133132com12 31 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
134133adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  + 
1 )  e.  ( 0 ... ( # `  W ) ) ) ) )
135134imp 427 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1 )  e.  ( 0 ... ( # `
 W ) ) ) )
136 swrd0len 12641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( W  e. Word  V  /\  ( N  +  1
)  e.  ( 0 ... ( # `  W
) ) )  -> 
( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
) )  =  ( N  +  1 ) )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( # `  ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. ) )  =  ( N  +  1 ) )
138 iswwlkn 24889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V  /\  N  e.  NN0 )  ->  (
( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
1391383expa 1194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
)  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
140139adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  (
( V WWalksN  E ) `  N )  <->  ( ( W substr  <. 0 ,  ( N  +  1 )
>. )  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `
 ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )
)  =  ( N  +  1 ) ) ) )
141122, 137, 140mpbir2and 920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( V  e. 
_V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e. 
NN0 )  /\  (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) )
142141ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  N  e.  NN0 )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) )
143142expcom 433 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
144143com3l 81 . . . . . . . 8  |-  ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  ->  ( ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
145144adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( (
( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  /\  ( # `  W
)  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
146145expd 434 . . . . . 6  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( W  =/=  (/)  /\  W  e. Word  V  /\  A. i  e.  ( 0..^ ( (
# `  W )  -  1 ) ) { ( W `  i ) ,  ( W `  ( i  +  1 ) ) }  e.  ran  E
)  ->  ( ( # `
 W )  =  ( ( N  + 
1 )  +  1 )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) ) )
1479, 146sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( W  e.  ( V WWalks  E )  ->  ( ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) ) )
148147impd 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
1 )  e.  NN0  /\  W  e. Word  V ) )  ->  ( ( W  e.  ( V WWalks  E )  /\  ( # `  W )  =  ( ( N  +  1 )  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) ) )
1497, 148sylbid 215 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  _V  /\  E  e.  _V )  /\  ( ( N  + 
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) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e. 
NN0  ->  ( W substr  <. 0 ,  ( N  + 
1 ) >. )  e.  ( ( V WWalksN  E
) `  N )
) ) )
1501, 149mpcom 36 . 2  |-  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( N  e.  NN0  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )
151150com12 31 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( W  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  ( N  +  1 ) )  ->  ( W substr  <.
0 ,  ( N  +  1 ) >.
)  e.  ( ( V WWalksN  E ) `  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {cpr 4018   <.cop 4022   class class class wbr 4439   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    <_ cle 9618    - cmin 9796   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   ...cfz 11675  ..^cfzo 11799   #chash 12390  Word cword 12521   substr csubstr 12525   WWalks cwwlk 24882   WWalksN cwwlkn 24883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-hash 12391  df-word 12529  df-substr 12533  df-wwlk 24884  df-wwlkn 24885
This theorem is referenced by:  wwlknextbi  24930  wwlknredwwlkn  24931
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