Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sadcp1 Structured version   Visualization version   GIF version

 Description: The carry sequence (which is a sequence of wffs, encoded as 1𝑜 and ∅) is defined recursively as the carry operation applied to the previous carry and the two current inputs. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
sadval.a (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
sadval.b (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
sadval.c 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
sadcp1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
sadcp1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑚,𝑐,𝑛   𝐴,𝑐,𝑚   𝐵,𝑐,𝑚   𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑚,𝑛,𝑐)   𝐴(𝑛)   𝐵(𝑛)   𝐶(𝑚,𝑛,𝑐)   𝑁(𝑚,𝑐)

Proof of Theorem sadcp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sadcp1.n . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 nn0uz 11598 . . . . . . 7 0 = (ℤ‘0)
31, 2syl6eleq 2698 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
4 seqp1 12678 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1)) = ((seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
6 sadval.c . . . . . 6 𝐶 = seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))
76fveq1i 6104 . . . . 5 (𝐶‘(𝑁 + 1)) = (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘(𝑁 + 1))
86fveq1i 6104 . . . . . 6 (𝐶𝑁) = (seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)
98oveq1i 6559 . . . . 5 ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((seq0((𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)), (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))))‘𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)))
105, 7, 93eqtr4g 2669 . . . 4 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))))
11 peano2nn0 11210 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
12 eqeq1 2614 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 = 0 ↔ (𝑁 + 1) = 0))
13 oveq1 6556 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (𝑛 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
1412, 13ifbieq2d 4061 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑁 + 1) → if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
15 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))
16 0ex 4718 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
17 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((𝑁 + 1) − 1) ∈ V
1816, 17ifex 4106 . . . . . . . 8 if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ V
1914, 15, 18fvmpt 6191 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
201, 11, 193syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)))
21 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
221, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
2322nnne0d 10942 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 + 1) ≠ 0)
24 ifnefalse 4048 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ≠ 0 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
2523, 24syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → if((𝑁 + 1) = 0, ∅, ((𝑁 + 1) − 1)) = ((𝑁 + 1) − 1))
261nn0cnd 11230 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
27 1cnd 9935 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2826, 27pncand 10272 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2920, 25, 283eqtrd 2648 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1)) = 𝑁)
3029oveq2d 6565 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ∅, (𝑛 − 1)))‘(𝑁 + 1))) = ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑁))
31 sadval.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ0)
32 sadval.b . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ0)
3331, 32, 6sadcf 15013 . . . . . 6 (𝜑𝐶:ℕ0⟶2𝑜)
3433, 1ffvelrnd 6268 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ 2𝑜)
35 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑦 = 𝑁)
3635eleq1d 2672 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐴𝑁𝐴))
3735eleq1d 2672 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (𝑦𝐵𝑁𝐵))
38 simpl 472 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → 𝑥 = (𝐶𝑁))
3938eleq2d 2673 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
4036, 37, 39cadbi123d 1540 . . . . . . 7 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → (cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
4140ifbid 4058 . . . . . 6 ((𝑥 = (𝐶𝑁) ∧ 𝑦 = 𝑁) → if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
42 biidd 251 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐴𝑚𝐴))
43 biidd 251 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (𝑚𝐵𝑚𝐵))
44 eleq2 2677 . . . . . . . . 9 (𝑐 = 𝑥 → (∅ ∈ 𝑐 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
4542, 43, 44cadbi123d 1540 . . . . . . . 8 (𝑐 = 𝑥 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐) ↔ cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
4645ifbid 4058 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑥 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅) = if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅))
47 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐴𝑦𝐴))
48 eleq1 2676 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (𝑚𝐵𝑦𝐵))
49 biidd 251 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑦 → (∅ ∈ 𝑥 ↔ ∅ ∈ 𝑥))
5047, 48, 49cadbi123d 1540 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑦 → (cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥) ↔ cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥)))
5150ifbid 4058 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑦 → if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅) = if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅))
5246, 51cbvmpt2v 6633 . . . . . 6 (𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅)) = (𝑥 ∈ 2𝑜, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑦𝐴, 𝑦𝐵, ∅ ∈ 𝑥), 1𝑜, ∅))
53 1on 7454 . . . . . . . 8 1𝑜 ∈ On
5453elexi 3186 . . . . . . 7 1𝑜 ∈ V
5554, 16ifex 4106 . . . . . 6 if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) ∈ V
5641, 52, 55ovmpt2a 6689 . . . . 5 (((𝐶𝑁) ∈ 2𝑜𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
5734, 1, 56syl2anc 691 . . . 4 (𝜑 → ((𝐶𝑁)(𝑐 ∈ 2𝑜, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚𝐴, 𝑚𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1𝑜, ∅))𝑁) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
5810, 30, 573eqtrd 2648 . . 3 (𝜑 → (𝐶‘(𝑁 + 1)) = if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
5958eleq2d 2673 . 2 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅)))
60 noel 3878 . . . . 5 ¬ ∅ ∈ ∅
61 iffalse 4045 . . . . . 6 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) = ∅)
6261eleq2d 2673 . . . . 5 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) ↔ ∅ ∈ ∅))
6360, 62mtbiri 316 . . . 4 (¬ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ¬ ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
6463con4i 112 . . 3 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) → cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
65 0lt1o 7471 . . . 4 ∅ ∈ 1𝑜
66 iftrue 4042 . . . 4 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
6765, 66syl5eleqr 2695 . . 3 (cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)) → ∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅))
6864, 67impbii 198 . 2 (∅ ∈ if(cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)), 1𝑜, ∅) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁)))
6959, 68syl6bb 275 1 (𝜑 → (∅ ∈ (𝐶‘(𝑁 + 1)) ↔ cadd(𝑁𝐴, 𝑁𝐵, ∅ ∈ (𝐶𝑁))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475  caddwcad 1536   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036   ↦ cmpt 4643  Oncon0 5640  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↦ cmpt2 6551  1𝑜c1o 7440  2𝑜c2o 7441  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤ≥cuz 11563  seqcseq 12663 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-xor 1457  df-tru 1478  df-cad 1537  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-seq 12664 This theorem is referenced by:  sadcaddlem  15017  sadadd2lem  15019  saddisjlem  15024
 Copyright terms: Public domain W3C validator