Theorem facdiv 12936

Description: A positive integer divides the factorial of an equal or larger number. (Contributed by NM, 2-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facdiv	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Proof of Theorem facdiv

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 0))
2		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
3	2	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘0) / 𝑁))
4	3	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
5	1, 4	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ)))
6	5	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))))
7		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑘))
8		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑘) / 𝑁))
10	9	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))
11	7, 10	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)))
12	11	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ))))
13		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1)))
14		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
15	14	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁))
16	15	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
17	13, 16	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
18	17	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
19		breq2 4587	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (𝑁 ≤ 𝑗 ↔ 𝑁 ≤ 𝑀))
20		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (!‘𝑗) = (!‘𝑀))
21	20	oveq1d 6564	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((!‘𝑗) / 𝑁) = ((!‘𝑀) / 𝑁))
22	21	eleq1d 2672	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → (((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))
23	19, 22	imbi12d 333	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ) ↔ (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
24	23	imbi2d 329	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝑀 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑗 → ((!‘𝑗) / 𝑁) ∈ ℕ)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ))))
25		nngt0 10926	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
26		0re 9919	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		nnre 10904	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
28		ltnle 9996	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
29	26, 27, 28	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 < 𝑁 ↔ ¬ 𝑁 ≤ 0))
30	25, 29	mpbid 221	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ¬ 𝑁 ≤ 0)
31	30	pm2.21d 117	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 0 → ((!‘0) / 𝑁) ∈ ℕ))
32		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	nn0red 11229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
34		leloe 10003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℝ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
35	27, 33, 34	syl2an 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1))))
36		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
37		nn0leltp1 11313	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
38	36, 37	sylan 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 ↔ 𝑁 < (𝑘 + 1)))
39		nn0p1nn 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
40		nnmulcl 10920	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
41	39, 40	sylan2 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
42	41	expcom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
43	42	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
44		faccl 12932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
45	44	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
47	32	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
49		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
50		nnne0 10930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51	49, 50	jca 553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0))
53		div23 10583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((!‘𝑘) ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
54	46, 48, 52, 53	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)))
55	54	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) / 𝑁) · (𝑘 + 1)) ∈ ℕ))
56	43, 55	sylibrd 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
57	56	imim2d 55	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ 𝑘 → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
58	57	com23 84	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
59	38, 58	sylbird 249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 < (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
60	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
61	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑁 ≠ 0)
62	46, 60, 61	divcan4d 10686	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (!‘𝑘))
63	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
64	62, 63	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ)
65		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑘) · 𝑁) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
66	65	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
67	66	eleq1d 2672	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((((!‘𝑘) · 𝑁) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
68	64, 67	syl5ibcom 234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
69	68	a1dd 48	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 = (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
70	59, 69	jaod 394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑁 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑁 = (𝑘 + 1)) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
71	35, 70	sylbid 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ)))
72	71	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
73	72	com34 89	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
74	73	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
75	74	imp4d 616	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
76		facp1 12927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
77	76	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) = (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁))
78	77	eleq1d 2672	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ ↔ (((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
79	75, 78	sylibrd 248	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) ∧ 𝑁 ≤ (𝑘 + 1))) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))
80	79	exp4d 635	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ) → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
81	80	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑘 → ((!‘𝑘) / 𝑁) ∈ ℕ)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ (𝑘 + 1) → ((!‘(𝑘 + 1)) / 𝑁) ∈ ℕ))))
82	6, 12, 18, 24, 31, 81	nn0ind 11348	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ≤ 𝑀 → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)))
83	82	3imp 1249	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ 𝑀) → ((!‘𝑀) / 𝑁) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℕ₀cn0 11169  !cfa 12922

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-fac 12923

This theorem is referenced by:  facndiv  12937  eirrlem  14771