Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sbc2rex 36369 |
. . . . . . . 8
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑) |
2 | | sbc4rex 36371 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
3 | 2 | 2rexbii 3024 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
4 | 1, 3 | bitri 263 |
. . . . . . 7
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
5 | 4 | sbcbii 3458 |
. . . . . 6
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
6 | | sbc2rex 36369 |
. . . . . 6
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
7 | | sbc4rex 36371 |
. . . . . . 7
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
8 | 7 | 2rexbii 3024 |
. . . . . 6
⊢
(∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢]∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 [(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
9 | 5, 6, 8 | 3bitri 285 |
. . . . 5
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
10 | 9 | a1i 11 |
. . . 4
⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑀)) → ([(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑 ↔
∃𝑤 ∈
ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0
∃𝑧 ∈
ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0
[(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑)) |
11 | 10 | rabbiia 3161 |
. . 3
⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑} =
{𝑎 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} |
12 | | rexfrabdioph.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑀 = (𝑁 + 1) |
13 | | nn0p1nn 11209 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ (𝑁 + 1) ∈
ℕ) |
14 | 12, 13 | syl5eqel 2692 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℕ) |
15 | 14 | nnnn0d 11228 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈
ℕ0) |
16 | 15 | adantr 480 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → 𝑀 ∈
ℕ0) |
17 | | sbcrot3 36373 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
18 | 17 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
19 | | sbcrot3 36373 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
20 | | sbcrot5 36374 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
([(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
21 | 20 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
22 | | sbcrot5 36374 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
23 | 21, 22 | bitri 263 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
24 | 23 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
([(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
25 | 24 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
26 | 18, 19, 25 | 3bitri 285 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑎 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
27 | 26 | sbcbii 3458 |
. . . . . . . 8
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑) |
28 | | reseq1 5311 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎 ↾ (1...𝑁)) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁))) |
29 | 28 | sbccomieg 36375 |
. . . . . . . . 9
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
30 | | fzssp1 12255 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...𝑁) ⊆
(1...(𝑁 +
1)) |
31 | 12 | oveq2i 6560 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1...𝑀) =
(1...(𝑁 +
1)) |
32 | 30, 31 | sseqtr4i 3601 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(1...𝑁) ⊆
(1...𝑀) |
33 | | resabs1 5347 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((1...𝑁) ⊆
(1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁))) |
34 | | dfsbcq 3404 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) = (𝑡 ↾ (1...𝑁)) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
35 | 32, 33, 34 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . 10
⊢
([((𝑡 ↾
(1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
36 | | vex 3176 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑡 ∈ V |
37 | 36 | resex 5363 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V |
38 | | fveq1 6102 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 = (𝑡 ↾ (1...𝑀)) → (𝑎‘𝑀) = ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀)) |
39 | 38 | sbcco3g 3951 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑡 ↾ (1...𝑀)) ∈ V → ([(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
40 | 37, 39 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑) |
41 | | elfz1end 12242 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) |
42 | 14, 41 | sylib 207 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ 𝑀 ∈ (1...𝑀)) |
43 | | fvres 6117 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑀 ∈ (1...𝑀) → ((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀)) |
44 | | dfsbcq 3404 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) = (𝑡‘𝑀) → ([((𝑡 ↾ (1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
45 | 42, 43, 44 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝑀))‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
46 | 40, 45 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
47 | 46 | sbcbidv 3457 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
48 | 35, 47 | syl5bb 271 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([((𝑡 ↾
(1...𝑀)) ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
49 | 29, 48 | syl5bb 271 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
50 | 27, 49 | syl5bbr 273 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ([(𝑡 ↾
(1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑 ↔ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑)) |
51 | 50 | rabbidv 3164 |
. . . . . 6
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} = {𝑡 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑}) |
52 | 51 | eleq1d 2672 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ0
→ ({𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺) ↔ {𝑡 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺))) |
53 | 52 | biimpar 501 |
. . . 4
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑡 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) |
54 | | rexfrabdioph.2 |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (𝑀 + 1) |
55 | | rexfrabdioph.3 |
. . . . 5
⊢ 𝐾 = (𝐿 + 1) |
56 | | rexfrabdioph.4 |
. . . . 5
⊢ 𝐽 = (𝐾 + 1) |
57 | | rexfrabdioph.5 |
. . . . 5
⊢ 𝐼 = (𝐽 + 1) |
58 | | rexfrabdioph.6 |
. . . . 5
⊢ 𝐻 = (𝐼 + 1) |
59 | | rexfrabdioph.7 |
. . . . 5
⊢ 𝐺 = (𝐻 + 1) |
60 | 54, 55, 56, 57, 58, 59 | 6rexfrabdioph 36381 |
. . . 4
⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑀)) / 𝑎][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞][(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) |
61 | 16, 53, 60 | syl2anc 691 |
. . 3
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑀)) ∣ ∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]𝜑} ∈ (Dioph‘𝑀)) |
62 | 11, 61 | syl5eqel 2692 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑎 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑} ∈
(Dioph‘𝑀)) |
63 | 12 | rexfrabdioph 36377 |
. 2
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑎 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝑀)) ∣ [(𝑎 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑎‘𝑀) / 𝑣]∃𝑤 ∈ ℕ0 ∃𝑥 ∈ ℕ0
∃𝑦 ∈
ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0 ∃𝑝 ∈ ℕ0
∃𝑞 ∈
ℕ0 𝜑} ∈
(Dioph‘𝑀)) →
{𝑢 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁)) |
64 | 62, 63 | syldan 486 |
1
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0
∧ {𝑡 ∈
(ℕ0 ↑𝑚 (1...𝐺)) ∣ [(𝑡 ↾ (1...𝑁)) / 𝑢][(𝑡‘𝑀) / 𝑣][(𝑡‘𝐿) / 𝑤][(𝑡‘𝐾) / 𝑥][(𝑡‘𝐽) / 𝑦][(𝑡‘𝐼) / 𝑧][(𝑡‘𝐻) / 𝑝][(𝑡‘𝐺) / 𝑞]𝜑} ∈ (Dioph‘𝐺)) → {𝑢 ∈ (ℕ0
↑𝑚 (1...𝑁)) ∣ ∃𝑣 ∈ ℕ0 ∃𝑤 ∈ ℕ0
∃𝑥 ∈
ℕ0 ∃𝑦 ∈ ℕ0 ∃𝑧 ∈ ℕ0
∃𝑝 ∈
ℕ0 ∃𝑞 ∈ ℕ0 𝜑} ∈ (Dioph‘𝑁)) |