Theorem reseq1 5311

Description: Equality theorem for restrictions. (Contributed by NM, 7-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
reseq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ↾ 𝐶) = (𝐵 ↾ 𝐶))

Proof of Theorem reseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3769	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ∩ (𝐶 × V)) = (𝐵 ∩ (𝐶 × V)))
2		df-res 5050	. 2 ⊢ (𝐴 ↾ 𝐶) = (𝐴 ∩ (𝐶 × V))
3		df-res 5050	. 2 ⊢ (𝐵 ↾ 𝐶) = (𝐵 ∩ (𝐶 × V))
4	1, 2, 3	3eqtr4g 2669	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ↾ 𝐶) = (𝐵 ↾ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475  Vcvv 3173   ∩ cin 3539   × cxp 5036   ↾ cres 5040

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-v 3175  df-in 3547  df-res 5050

This theorem is referenced by:  reseq1i  5313  reseq1d  5316  imaeq1  5380  fvtresfn  6193  wfrlem1  7301  wfrlem3a  7304  wfrlem15  7316  tfrlem12  7372  pmresg  7771  resixpfo  7832  mapunen  8014  fseqenlem1  8730  axdc3lem2  9156  axdc3lem4  9158  axdc  9226  hashf1lem1  13096  lo1eq  14147  rlimeq  14148  symgfixfo  17682  lspextmo  18877  evlseu  19337  mdetunilem3  20239  mdetunilem4  20240  mdetunilem9  20245  lmbr  20872  ptuncnv  21420  iscau  22882  plyexmo  23872  relogf1o  24117  eulerpartlemt  29760  eulerpartlemgv  29762  eulerpartlemn  29770  eulerpart  29771  bnj1385  30157  bnj66  30184  bnj1234  30335  bnj1326  30348  bnj1463  30377  iscvm  30495  trpredlem1  30971  trpredtr  30974  trpredmintr  30975  frrlem1  31024  nofulllem5  31105  mbfresfi  32626  eqfnun  32686  sdclem2  32708  isdivrngo  32919  mzpcompact2lem  36332  diophrw  36340  eldioph2lem1  36341  eldioph2lem2  36342  eldioph3  36347  diophin  36354  diophrex  36357  rexrabdioph  36376  2rexfrabdioph  36378  3rexfrabdioph  36379  4rexfrabdioph  36380  6rexfrabdioph  36381  7rexfrabdioph  36382  eldioph4b  36393  pwssplit4  36677  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem3  38838  ismea  39344  isome  39384