Theorem rlimeq 14148

Description: Two functions that are eventually equal to one another have the same limit. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rlimeq.1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
rlimeq.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
rlimeq.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
rlimeq.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
rlimeq	⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐷   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem rlimeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlimss 14081	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ)
2		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
3		rlimeq.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
4	2, 3	dmmptd 5937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) = 𝐴)
5	4	sseq1d 3595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
6	1, 5	syl5ib 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
7		rlimss 14081	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ)
8		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶)
9		rlimeq.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
10	8, 9	dmmptd 5937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) = 𝐴)
11	10	sseq1d 3595	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⊆ ℝ ↔ 𝐴 ⊆ ℝ))
12	7, 11	syl5ib 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 → 𝐴 ⊆ ℝ))
13		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
14		elin 3758	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
15	13, 14	sylib 207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)))
16	15	simpld 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
17	15	simprd 478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞))
18		rlimeq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
19		elicopnf 12140	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)))
21	20	biimpa 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐷[,)+∞)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
22	17, 21	syldan 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
23	22	simprd 478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐷 ≤ 𝑥)
24	16, 23	jca 553	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥))
25		rlimeq.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐷 ≤ 𝑥)) → 𝐵 = 𝐶)
26	24, 25	syldan 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) → 𝐵 = 𝐶)
27	26	mpteq2dva 4672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
28		inss1 3795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴
29		resmpt 5369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵))
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐵)
31		resmpt 5369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶))
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)) ↦ 𝐶)
33	27, 30, 32	3eqtr4g 2669	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞))))
34		resres 5329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
35		resres 5329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐴 ∩ (𝐷[,)+∞)))
36	33, 34, 35	3eqtr4g 2669	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)))
37		ssid 3587	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝐴
38		resmpt 5369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵))
39		reseq1 5311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)))
40	37, 38, 39	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞))
41		resmpt 5369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶))
42		reseq1 5311	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
43	37, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ 𝐴) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞))
44	36, 40, 43	3eqtr3g 2667	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)))
45	44	breq1d 4593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
47	3, 2	fmptd 6292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
48	47	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵):𝐴⟶ℂ)
49		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
50	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
51	48, 49, 50	rlimresb 14144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
52	9, 8	fmptd 6292	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
53	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶):𝐴⟶ℂ)
54	53, 49, 50	rlimresb 14144	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸 ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ↾ (𝐷[,)+∞)) ⇝𝑟 𝐸))
55	46, 51, 54	3bitr4d 299	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ ℝ) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))
56	55	ex 449	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸)))
57	6, 12, 56	pm5.21ndd 368	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ⇝𝑟 𝐸 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐶) ⇝𝑟 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ⟶wf 5800  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  +∞cpnf 9950   ≤ cle 9954  [,)cico 12048   ⇝_𝑟 crli 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-ico 12052  df-rlim 14068

This theorem is referenced by: (None)