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Theorem 7rexfrabdioph 30973
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, seven variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
rexfrabdioph.5  |-  I  =  ( J  +  1 )
rexfrabdioph.6  |-  H  =  ( I  +  1 )
rexfrabdioph.7  |-  G  =  ( H  +  1 )
Assertion
Ref Expression
7rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, G, u, v, w, x, y, z, p, q    t, H, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, I, u, v, w, x, y, z, p, q    t, J, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, K, u, v, w, x, y, z, p, q    t, L, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, M, u, v, w, x, y, z, p, q    t, N, u, v, w, x, y, z, p, q    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, q, p)

Proof of Theorem 7rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbc2rex 30960 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph )
2 sbc4rex 30962 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
322rexbii 2957 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
41, 3bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
54sbcbii 3380 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
6 sbc2rex 30960 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
7 sbc4rex 30962 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
872rexbii 2957 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph )
95, 6, 83bitri 271 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph ) )
1110rabbiia 3095 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph }
12 rexfrabdioph.1 . . . . . . 7  |-  M  =  ( N  +  1 )
13 nn0p1nn 10831 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1412, 13syl5eqel 2546 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
1514nnnn0d 10848 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
1615adantr 463 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  M  e.  NN0 )
17 sbcrot3 30964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph )
1817sbcbii 3380 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
19 sbcrot3 30964 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
20 sbcrot5 30965 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. ph )
2120sbcbii 3380 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
22 sbcrot5 30965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph  <->  [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2321, 22bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2423sbcbii 3380 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2524sbcbii 3380 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2618, 19, 253bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2726sbcbii 3380 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
28 reseq1 5256 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
2928sbccomieg 30966 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
30 fzssp1 11730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3112oveq2i 6281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3230, 31sseqtr4i 3522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
33 resabs1 5290 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... M )  ->  (
( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
34 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
36 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  t  e. 
_V
3736resex 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  e.  _V
38 fveq1 5847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
) )
3938sbcco3g 3838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... M ) )  e.  _V  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph ) )
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph )
41 elfz1end 11718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4214, 41sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
43 fvres 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( t  |`  (
1 ... M ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
44 dfsbcq 3326 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... M ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph ) )
4542, 43, 443syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph ) )
4640, 45syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph ) )
4746sbcbidv 3379 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
4835, 47syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
4929, 48syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5027, 49syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5150rabbidv 3098 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph } )
5251eleq1d 2523 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) ) )
5352biimpar 483 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )
54 rexfrabdioph.2 . . . . 5  |-  L  =  ( M  +  1 )
55 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
56 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
57 rexfrabdioph.5 . . . . 5  |-  I  =  ( J  +  1 )
58 rexfrabdioph.6 . . . . 5  |-  H  =  ( I  +  1 )
59 rexfrabdioph.7 . . . . 5  |-  G  =  ( H  +  1 )
6054, 55, 56, 57, 58, 596rexfrabdioph 30972 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e. 
NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M )
)
6116, 53, 60syl2anc 659 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e. 
NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M )
)
6211, 61syl5eqel 2546 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  M )
)
6312rexfrabdioph 30968 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  M )
)  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
6462, 63syldan 468 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324    C_ wss 3461    |` cres 4990   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   1c1 9482    + caddc 9484   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ...cfz 11675  Diophcdioph 30927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-hash 12388  df-mzpcl 30895  df-mzp 30896  df-dioph 30928
This theorem is referenced by:  rmydioph  31195
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