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Theorem 7rexfrabdioph 30564
Description: Diophantine set builder for existential quantifier, explicit substitution, seven variables. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Oct-2014.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rexfrabdioph.1  |-  M  =  ( N  +  1 )
rexfrabdioph.2  |-  L  =  ( M  +  1 )
rexfrabdioph.3  |-  K  =  ( L  +  1 )
rexfrabdioph.4  |-  J  =  ( K  +  1 )
rexfrabdioph.5  |-  I  =  ( J  +  1 )
rexfrabdioph.6  |-  H  =  ( I  +  1 )
rexfrabdioph.7  |-  G  =  ( H  +  1 )
Assertion
Ref Expression
7rexfrabdioph  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Distinct variable groups:    t, G, u, v, w, x, y, z, p, q    t, H, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, I, u, v, w, x, y, z, p, q    t, J, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, K, u, v, w, x, y, z, p, q    t, L, u, v, w, x, y, z, p, q   
t, M, u, v, w, x, y, z, p, q    t, N, u, v, w, x, y, z, p, q    ph, t
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z, w, v, u, q, p)

Proof of Theorem 7rexfrabdioph
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sbc2rex 30551 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph )
2 sbc4rex 30553 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
322rexbii 2966 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
41, 3bitri 249 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e. 
NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
54sbcbii 3391 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
6 sbc2rex 30551 . . . . . 6  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
7 sbc4rex 30553 . . . . . . 7  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a `  M
)  /  v ]. ph  <->  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph )
872rexbii 2966 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e. 
NN0  [. ( a `  M )  /  v ]. ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph )
95, 6, 83bitri 271 . . . . 5  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph )
109a1i 11 . . . 4  |-  ( a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  ->  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph  <->  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph ) )
1110rabbiia 3102 . . 3  |-  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M
) )  |  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  =  {
a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph }
12 rexfrabdioph.1 . . . . . . 7  |-  M  =  ( N  +  1 )
13 nn0p1nn 10836 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e.  NN )
1412, 13syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  NN )
1514nnnn0d 10853 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  M  e.  NN0 )
17 sbcrot3 30555 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph )
1817sbcbii 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
19 sbcrot3 30555 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
20 sbcrot5 30556 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( [. ( a `  M
)  /  v ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. [. ( a `  M
)  /  v ]. ph )
2120sbcbii 3391 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
22 sbcrot5 30556 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph  <->  [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2321, 22bitri 249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2423sbcbii 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2524sbcbii 3391 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2618, 19, 253bitri 271 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
2726sbcbii 3391 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph )
28 reseq1 5267 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  ->  (
a  |`  ( 1 ... N ) )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) ) )
2928sbccomieg 30557 . . . . . . . . 9  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
30 fzssp1 11727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3112oveq2i 6296 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... M )  =  ( 1 ... ( N  +  1 ) )
3230, 31sseqtr4i 3537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1 ... N )  C_  ( 1 ... M
)
33 resabs1 5302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... N ) 
C_  ( 1 ... M )  ->  (
( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) ) )
34 dfsbcq 3333 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  =  ( t  |`  ( 1 ... N ) )  ->  ( [. (
( t  |`  (
1 ... M ) )  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( a `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph )
36 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  t  e. 
_V
3736resex 5317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  e.  _V
38 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  ( t  |`  ( 1 ... M
) )  ->  (
a `  M )  =  ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
) )
3938sbcco3g 3843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( t  |`  ( 1 ... M ) )  e.  _V  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph ) )
4037, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( ( t  |`  ( 1 ... M ) ) `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph )
41 elfz1end 11716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  NN  <->  M  e.  ( 1 ... M
) )
4214, 41sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  NN0  ->  M  e.  ( 1 ... M
) )
43 fvres 5880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  ( 1 ... M )  ->  (
( t  |`  (
1 ... M ) ) `
 M )  =  ( t `  M
) )
44 dfsbcq 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( t  |`  (
1 ... M ) ) `
 M )  =  ( t `  M
)  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph ) )
4542, 43, 443syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) ) `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph  <->  [. ( t `  M
)  /  v ]. [. ( t `  L
)  /  w ]. [. ( t `  K
)  /  x ]. [. ( t `  J
)  /  y ]. [. ( t `  I
)  /  z ]. [. ( t `  H
)  /  p ]. [. ( t `  G
)  /  q ]. ph ) )
4640, 45syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a `  M )  /  v ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. ph  <->  [. ( t `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph ) )
4746sbcbidv 3390 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
4835, 47syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( ( t  |`  ( 1 ... M
) )  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
t  |`  ( 1 ... M ) )  / 
a ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
4929, 48syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. [. ( t `
 L )  /  w ]. [. ( t `
 K )  /  x ]. [. ( t `
 J )  / 
y ]. [. ( t `
 I )  / 
z ]. [. ( t `
 H )  /  p ]. [. ( t `
 G )  / 
q ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5027, 49syl5bbr 259 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph  <->  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph ) )
5150rabbidv 3105 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G
) )  |  [. ( t  |`  (
1 ... M ) )  /  a ]. [. (
t `  L )  /  w ]. [. (
t `  K )  /  x ]. [. (
t `  J )  /  y ]. [. (
t `  I )  /  z ]. [. (
t `  H )  /  p ]. [. (
t `  G )  /  q ]. [. (
a  |`  ( 1 ... N ) )  /  u ]. [. ( a `
 M )  / 
v ]. ph }  =  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph } )
5251eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G )  <->  { t  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) ) )
5352biimpar 485 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { t  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... G ) )  |  [. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )
54 rexfrabdioph.2 . . . . 5  |-  L  =  ( M  +  1 )
55 rexfrabdioph.3 . . . . 5  |-  K  =  ( L  +  1 )
56 rexfrabdioph.4 . . . . 5  |-  J  =  ( K  +  1 )
57 rexfrabdioph.5 . . . . 5  |-  I  =  ( J  +  1 )
58 rexfrabdioph.6 . . . . 5  |-  H  =  ( I  +  1 )
59 rexfrabdioph.7 . . . . 5  |-  G  =  ( H  +  1 )
6054, 55, 56, 57, 58, 596rexfrabdioph 30563 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... M
) )  /  a ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e. 
NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M )
)
6116, 53, 60syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  E. w  e. 
NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e. 
NN0  E. q  e.  NN0  [. ( a  |`  (
1 ... N ) )  /  u ]. [. (
a `  M )  /  v ]. ph }  e.  (Dioph `  M )
)
6211, 61syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { a  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... M ) )  |  [. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  M )
)
6312rexfrabdioph 30559 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { a  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... M ) )  | 
[. ( a  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( a `  M )  /  v ]. E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  M )
)  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  (
1 ... N ) )  |  E. v  e. 
NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e.  NN0  E. z  e. 
NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N )
)
6462, 63syldan 470 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  { t  e.  ( NN0 
^m  ( 1 ... G ) )  | 
[. ( t  |`  ( 1 ... N
) )  /  u ]. [. ( t `  M )  /  v ]. [. ( t `  L )  /  w ]. [. ( t `  K )  /  x ]. [. ( t `  J )  /  y ]. [. ( t `  I )  /  z ]. [. ( t `  H )  /  p ]. [. ( t `  G )  /  q ]. ph }  e.  (Dioph `  G ) )  ->  { u  e.  ( NN0  ^m  ( 1 ... N ) )  |  E. v  e.  NN0  E. w  e.  NN0  E. x  e.  NN0  E. y  e. 
NN0  E. z  e.  NN0  E. p  e.  NN0  E. q  e.  NN0  ph }  e.  (Dioph `  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331    C_ wss 3476    |` cres 5001   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    ^m cmap 7421   1c1 9494    + caddc 9496   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ...cfz 11673  Diophcdioph 30519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-hash 12375  df-mzpcl 30486  df-mzp 30487  df-dioph 30520
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