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Theorem log2tlbnd 24472
Description: Bound the error term in the series of log2cnv 24471. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
log2tlbnd (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
Distinct variable group:   𝑛,𝑁

Proof of Theorem log2tlbnd
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11598 . . . . . 6 0 = (ℤ‘0)
2 0zd 11266 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑛))
43oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((2 · 𝑘) + 1) = ((2 · 𝑛) + 1))
54oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (3 · ((2 · 𝑘) + 1)) = (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
6 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (9↑𝑘) = (9↑𝑛))
75, 6oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)) = ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
87oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑛 → (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
9 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘)))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))
10 ovex 6577 . . . . . . . 8 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ V
118, 9, 10fvmpt 6191 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
1211adantl 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
13 2re 10967 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
14 3nn 11063 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
15 2nn0 11186 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
16 simpr 476 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17 nn0mulcl 11206 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1815, 16, 17sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
19 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
2018, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
21 nnmulcl 10920 . . . . . . . . . 10 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
2214, 20, 21sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
23 9nn 11069 . . . . . . . . . 10 9 ∈ ℕ
24 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . 10 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
2523, 16, 24sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
2622, 25nnmulcld 10945 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
27 nndivre 10933 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
2813, 26, 27sylancr 694 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
2928recnd 9947 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
309log2cnv 24471 . . . . . . 7 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2)
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2))
321, 2, 12, 29, 31isumclim 14330 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (log‘2))
33 eqid 2610 . . . . . 6 (ℤ𝑁) = (ℤ𝑁)
34 id 22 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)
35 seqex 12665 . . . . . . . 8 seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ V
36 fvex 6113 . . . . . . . 8 (log‘2) ∈ V
3735, 36breldm 5251 . . . . . . 7 (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ⇝ (log‘2) → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
3830, 37mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
391, 33, 34, 12, 29, 38isumsplit 14411 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ ℕ0 (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
4032, 39eqtr3d 2646 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (log‘2) = (Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
4140oveq1d 6564 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))))
42 fzfid 12634 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
43 elfznn0 12302 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4443, 29sylan2 490 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
4542, 44fsumcl 14311 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
46 nn0z 11277 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
47 eluznn0 11633 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
4847, 11syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
4947, 28syldan 486 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
5012, 29eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))‘𝑛) ∈ ℂ)
511, 34, 50iserex 14235 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (seq0( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ↔ seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ ))
5238, 51mpbid 221 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (2 / ((3 · ((2 · 𝑘) + 1)) · (9↑𝑘))))) ∈ dom ⇝ )
5333, 46, 48, 49, 52isumrecl 14338 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
5453recnd 9947 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
5545, 54pncan2d 10273 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) + Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5641, 55eqtrd 2644 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) = Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
5713a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
58 0le2 10988 . . . . . . 7 0 ≤ 2
5958a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ 2)
6026nnred 10912 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
6126nngt0d 10941 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
62 divge0 10771 . . . . . 6 (((2 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 2) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6357, 59, 60, 61, 62syl22anc 1319 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6447, 63syldan 486 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
6533, 46, 48, 49, 52, 64isumge0 14339 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
66 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → ((1 / 9)↑𝑘) = ((1 / 9)↑𝑛))
6766oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑛 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
68 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘))) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))
69 ovex 6577 . . . . . . . . 9 ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) ∈ V
7067, 68, 69fvmpt 6191 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
7170adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
72 9cn 10985 . . . . . . . . . . 11 9 ∈ ℂ
7372a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ∈ ℂ)
7423nnne0i 10932 . . . . . . . . . . 11 9 ≠ 0
7574a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 9 ≠ 0)
76 nn0z 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℤ)
7776adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℤ)
7873, 75, 77exprecd 12878 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) = (1 / (9↑𝑛)))
7978oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
80 nn0mulcl 11206 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
8115, 80mpan 702 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
82 nn0p1nn 11209 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝑁) ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
84 nnmulcl 10920 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
8514, 83, 84sylancr 694 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
86 nndivre 10933 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
8713, 85, 86sylancr 694 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℝ)
8887recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
8988adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) ∈ ℂ)
9025nncnd 10913 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ∈ ℂ)
9125nnne0d 10942 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (9↑𝑛) ≠ 0)
9289, 90, 91divrecd 10683 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (1 / (9↑𝑛))))
93 2cnd 10970 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
9485adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
9594nncnd 10913 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℂ)
9694nnne0d 10942 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≠ 0)
9793, 95, 90, 96, 91divdiv1d 10711 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) / (9↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9879, 92, 973eqtr2d 2650 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
9971, 98eqtrd 2644 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
10047, 99syldan 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
10194, 25nnmulcld 10945 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
102 nndivre 10933 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
10313, 101, 102sylancr 694 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
10447, 103syldan 486 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ)
10581adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℕ0)
106105nn0red 11229 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ∈ ℝ)
10715, 47, 17sylancr 694 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
108107nn0red 11229 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
109 1red 9934 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 1 ∈ ℝ)
110 eluzle 11576 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑛)
111110adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑛)
112 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
113112adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
11447nn0red 11229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑛 ∈ ℝ)
11513a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
116 2pos 10989 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
117116a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 2)
118 lemul2 10755 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝑁𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
119113, 114, 115, 117, 118syl112anc 1322 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (𝑁𝑛 ↔ (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛)))
120111, 119mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 · 𝑁) ≤ (2 · 𝑛))
121106, 108, 109, 120leadd1dd 10520 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1))
12283adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ)
123122nnred 10912 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
12447, 20syldan 486 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℕ)
125124nnred 10912 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ)
126 3re 10971 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℝ
127126a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 3 ∈ ℝ)
128 3pos 10991 . . . . . . . . . 10 0 < 3
129128a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 3)
130 lemul2 10755 . . . . . . . . 9 ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝑛) + 1) ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 0 < 3)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
131123, 125, 127, 129, 130syl112anc 1322 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((2 · 𝑁) + 1) ≤ ((2 · 𝑛) + 1) ↔ (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1))))
132121, 131mpbid 221 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)))
13385adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
134133nnred 10912 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ)
13547, 22syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℕ)
136135nnred 10912 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ)
13723, 47, 24sylancr 694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℕ)
138137nnred 10912 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (9↑𝑛) ∈ ℝ)
139137nngt0d 10941 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (9↑𝑛))
140 lemul1 10754 . . . . . . . 8 (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℝ ∧ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ∈ ℝ ∧ ((9↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (9↑𝑛))) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
141134, 136, 138, 139, 140syl112anc 1322 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) ≤ (3 · ((2 · 𝑛) + 1)) ↔ ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))))
142132, 141mpbid 221 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
14347, 101syldan 486 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℕ)
144143nnred 10912 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
145143nngt0d 10941 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))
14647, 60syldan 486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ)
14747, 61syldan 486 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))
148 lediv2 10792 . . . . . . 7 (((((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ 0 < ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
149144, 145, 146, 147, 115, 117, 148syl222anc 1334 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)) ≤ ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)) ↔ (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛)))))
150142, 149mpbid 221 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
151 9re 10984 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
152151, 74rereccli 10669 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) ∈ ℝ
153152recni 9931 . . . . . . . . . 10 (1 / 9) ∈ ℂ
154153a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 / 9) ∈ ℂ)
155 0re 9919 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
156 9pos 10999 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 9
157151, 156recgt0ii 10808 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (1 / 9)
158155, 152, 157ltleii 10039 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (1 / 9)
159 absid 13884 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 9) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / 9)) → (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9))
160152, 158, 159mp2an 704 . . . . . . . . . . 11 (abs‘(1 / 9)) = (1 / 9)
161 1lt9 11106 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 9
162 recgt1i 10799 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 ∈ ℝ ∧ 1 < 9) → (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1))
163151, 161, 162mp2an 704 . . . . . . . . . . . 12 (0 < (1 / 9) ∧ (1 / 9) < 1)
164163simpri 477 . . . . . . . . . . 11 (1 / 9) < 1
165160, 164eqbrtri 4604 . . . . . . . . . 10 (abs‘(1 / 9)) < 1
166165a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (abs‘(1 / 9)) < 1)
167 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))
168 ovex 6577 . . . . . . . . . . 11 ((1 / 9)↑𝑛) ∈ V
16966, 167, 168fvmpt 6191 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
17047, 169syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) = ((1 / 9)↑𝑛))
171154, 166, 34, 170geolim2 14441 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))))
17272a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ∈ ℂ)
17374a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 9 ≠ 0)
174172, 173, 46exprecd 12878 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / 9)↑𝑁) = (1 / (9↑𝑁)))
17572, 74dividi 10637 . . . . . . . . . . . . 13 (9 / 9) = 1
176175oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) − (1 / 9)) = (1 − (1 / 9))
177 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
17872, 74pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)
179 divsubdir 10600 . . . . . . . . . . . . . 14 ((9 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9)))
18072, 177, 178, 179mp3an 1416 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 − 1) / 9) = ((9 / 9) − (1 / 9))
181 df-9 10963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 = (8 + 1)
182181oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 − 1) = ((8 + 1) − 1)
183 8cn 10983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 8 ∈ ℂ
184183, 177pncan3oi 10176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((8 + 1) − 1) = 8
185182, 184eqtri 2632 . . . . . . . . . . . . . 14 (9 − 1) = 8
186185oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . 13 ((9 − 1) / 9) = (8 / 9)
187180, 186eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . . 12 ((9 / 9) − (1 / 9)) = (8 / 9)
188176, 187eqtr3i 2634 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 9)) = (8 / 9)
189188a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 − (1 / 9)) = (8 / 9))
190174, 189oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)))
191177a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
192 nnexpcl 12735 . . . . . . . . . . . 12 ((9 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
19323, 192mpan 702 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℕ)
194193nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ∈ ℂ)
195183, 72, 74divcli 10646 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) ∈ ℂ
196195a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ∈ ℂ)
197193nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9↑𝑁) ≠ 0)
198 8nn 11068 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ
199198nnne0i 10932 . . . . . . . . . . . 12 8 ≠ 0
200183, 72, 199, 74divne0i 10652 . . . . . . . . . . 11 (8 / 9) ≠ 0
201200a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (8 / 9) ≠ 0)
202191, 194, 196, 197, 201divdiv32d 10705 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (9↑𝑁)) / (8 / 9)) = ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)))
203 recdiv 10610 . . . . . . . . . . . 12 (((8 ∈ ℂ ∧ 8 ≠ 0) ∧ (9 ∈ ℂ ∧ 9 ≠ 0)) → (1 / (8 / 9)) = (9 / 8))
204183, 199, 72, 74, 203mp4an 705 . . . . . . . . . . 11 (1 / (8 / 9)) = (9 / 8)
205204oveq1i 6559 . . . . . . . . . 10 ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = ((9 / 8) / (9↑𝑁))
206183a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ∈ ℂ)
207199a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → 8 ≠ 0)
208172, 206, 194, 207, 197divdiv1d 10711 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((9 / 8) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
209205, 208syl5eq 2656 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((1 / (8 / 9)) / (9↑𝑁)) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
210190, 202, 2093eqtrd 2648 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((1 / 9)↑𝑁) / (1 − (1 / 9))) = (9 / (8 · (9↑𝑁))))
211171, 210breqtrd 4609 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))) ⇝ (9 / (8 · (9↑𝑁))))
212 expcl 12740 . . . . . . . . 9 (((1 / 9) ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
213153, 47, 212sylancr 694 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((1 / 9)↑𝑛) ∈ ℂ)
214170, 213eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛) ∈ ℂ)
21547, 70syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
216170oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑛)))
217215, 216eqtr4d 2647 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))‘𝑛) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((1 / 9)↑𝑘))‘𝑛)))
21833, 46, 88, 211, 214, 217isermulc2 14236 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
219 seqex 12665 . . . . . . 7 seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ V
220 ovex 6577 . . . . . . 7 ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) ∈ V
221219, 220breldm 5251 . . . . . 6 (seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
222218, 221syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ∈ dom ⇝ )
22333, 46, 48, 49, 100, 104, 150, 52, 222isumle 14415 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))))
224104recnd 9947 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑁)) → (2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℂ)
225 3cn 10972 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℂ
226 4cn 10975 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℂ
227 2cn 10968 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℂ
228 4ne0 10994 . . . . . . . . . . . 12 4 ≠ 0
229 3ne0 10992 . . . . . . . . . . . 12 3 ≠ 0
230 2ne0 10990 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
231225, 226, 227, 225, 228, 229, 230divdivdivi 10667 . . . . . . . . . . 11 ((3 / 4) / (2 / 3)) = ((3 · 3) / (4 · 2))
232 3t3e9 11057 . . . . . . . . . . . 12 (3 · 3) = 9
233 4t2e8 11058 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
234232, 233oveq12i 6561 . . . . . . . . . . 11 ((3 · 3) / (4 · 2)) = (9 / 8)
235231, 234eqtri 2632 . . . . . . . . . 10 ((3 / 4) / (2 / 3)) = (9 / 8)
236235oveq2i 6560 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = ((2 / 3) · (9 / 8))
237225, 226, 228divcli 10646 . . . . . . . . . 10 (3 / 4) ∈ ℂ
238227, 225, 229divcli 10646 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) ∈ ℂ
239227, 225, 230, 229divne0i 10652 . . . . . . . . . 10 (2 / 3) ≠ 0
240237, 238, 239divcan2i 10647 . . . . . . . . 9 ((2 / 3) · ((3 / 4) / (2 / 3))) = (3 / 4)
241236, 240eqtr3i 2634 . . . . . . . 8 ((2 / 3) · (9 / 8)) = (3 / 4)
242241oveq1i 6559 . . . . . . 7 (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))
243 2cnd 10970 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℂ)
244225a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ∈ ℂ)
24583nncnd 10913 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℂ)
246229a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 3 ≠ 0)
24783nnne0d 10942 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 · 𝑁) + 1) ≠ 0)
248243, 244, 245, 246, 247divdiv1d 10711 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) = (2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))))
249248, 208oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))))
250238a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (2 / 3) ∈ ℂ)
25172, 183, 199divcli 10646 . . . . . . . . . 10 (9 / 8) ∈ ℂ
252251a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (9 / 8) ∈ ℂ)
253250, 245, 252, 194, 247, 197divmuldivd 10721 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 / 3) / ((2 · 𝑁) + 1)) · ((9 / 8) / (9↑𝑁))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
254249, 253eqtr3d 2646 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (((2 / 3) · (9 / 8)) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
255226a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ∈ ℂ)
256255, 245, 194mulassd 9942 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) = (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
257256oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
25883, 193nnmulcld 10945 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
259258nncnd 10913 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ∈ ℂ)
260228a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 4 ≠ 0)
261258nnne0d 10942 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)) ≠ 0)
262244, 255, 259, 260, 261divdiv1d 10711 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))) = (3 / (4 · (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁)))))
263257, 262eqtr4d 2647 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) = ((3 / 4) / (((2 · 𝑁) + 1) · (9↑𝑁))))
264242, 254, 2633eqtr4a 2670 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · (9 / (8 · (9↑𝑁)))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
265218, 264breqtrd 4609 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → seq𝑁( + , (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((2 / (3 · ((2 · 𝑁) + 1))) · ((1 / 9)↑𝑘)))) ⇝ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
26633, 46, 100, 224, 265isumclim 14330 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑛))) = (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
267223, 266breqtrd 4609 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))
268 4nn 11064 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
269 nnmulcl 10920 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℕ) → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
270268, 83, 269sylancr 694 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (4 · ((2 · 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
271270, 193nnmulcld 10945 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ)
272 nndivre 10933 . . . . 5 ((3 ∈ ℝ ∧ ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)) ∈ ℕ) → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
273126, 271, 272sylancr 694 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ)
274 elicc2 12109 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))) ∈ ℝ) → (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
275155, 273, 274sylancr 694 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))) ↔ (Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∧ Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ≤ (3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁))))))
27653, 65, 267, 275mpbir3and 1238 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → Σ𝑛 ∈ (ℤ𝑁)(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
27756, 276eqeltrd 2688 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((log‘2) − Σ𝑛 ∈ (0...(𝑁 − 1))(2 / ((3 · ((2 · 𝑛) + 1)) · (9↑𝑛)))) ∈ (0[,](3 / ((4 · ((2 · 𝑁) + 1)) · (9↑𝑁)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4583  cmpt 4643  dom cdm 5038  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  8c8 10953  9c9 10954  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  [,]cicc 12049  ...cfz 12197  seqcseq 12663  cexp 12722  abscabs 13822  cli 14063  Σcsu 14264  logclog 24105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-ef 14637  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-ulm 23935  df-log 24107  df-atan 24394
This theorem is referenced by:  log2ub  24476
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