MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn0 10825
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10800 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10820 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762  (class class class)co 6275   1c1 9482    + caddc 9484   NN0cn0 10784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-ov 6278  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10526  df-n0 10785
This theorem is referenced by:  nn0split  11776  fzonn0p1p1  11851  elfzom1p1elfzo  11852  leexp2r  12178  expnbnd  12250  facdiv  12320  facwordi  12322  faclbnd  12323  faclbnd2  12324  faclbnd3  12325  faclbnd6  12332  bcnp1n  12347  bcp1m1  12353  bcpasc  12354  hashfz  12437  hashf1  12459  brfi1indlem  12484  brfi1uzind  12485  swrds2  12833  iseraltlem2  13454  bcxmas  13599  climcndslem1  13613  climcnds  13615  geolim  13631  geo2sum  13634  mertenslem1  13645  mertenslem2  13646  mertens  13647  efcllem  13664  eftlub  13694  efsep  13695  effsumlt  13696  ruclem9  13821  bitsp1  13929  sadcp1  13953  smuval2  13980  smu01lem  13983  smup1  13987  nn0seqcvgd  14047  algcvg  14053  nonsq  14140  iserodd  14207  pcprendvds  14212  pcpremul  14215  pcdvdsb  14240  4sqlem11  14321  vdwapun  14340  vdwlem1  14347  vdwlem9  14355  ramub1  14394  ramcl  14395  decexp2  14409  sylow1lem3  16409  efgsfo  16546  efgred  16555  telgsums  16806  telgsum  16807  srgbinomlem3  16974  srgbinomlem4  16975  assamulgscmlem2  17762  chfacffsupp  19117  chfacfscmulfsupp  19120  chfacfscmulgsum  19121  chfacfpmmulfsupp  19124  chfacfpmmulgsum  19125  cpnord  22066  ply1divex  22265  fta1glem1  22294  fta1glem2  22295  fta1g  22296  plyco0  22317  plyaddlem1  22338  plymullem1  22339  plyco  22366  dvply1  22407  dvply2g  22408  aaliou3lem8  22468  aaliou3lem9  22473  dvtaylp  22492  dvradcnv  22543  pserdvlem2  22550  advlogexp  22757  atantayl3  22991  leibpi  22994  log2cnv  22996  ftalem4  23070  ftalem5  23071  perfectlem1  23225  bcp1ctr  23275  dchrisum0flblem1  23414  ostth2lem2  23540  ostth2lem3  23541  wwlknred  24385  wwlknext  24386  wwlknextbi  24387  wwlknredwwlkn  24388  wwlknredwwlkn0  24389  wwlknfi  24400  wwlkextproplem2  24404  wwlkextproplem3  24405  clwwlkf  24456  clwlkfclwwlk1hash  24504  rusgranumwlks  24618  eupap1  24638  eupath2lem3  24641  eupath2  24642  nndiffz1  27114  subfacval2  28121  erdsze2lem1  28137  risefacp1  28578  fallfacp1  28579  binomfallfaclem1  28588  binomfallfaclem2  28589  fsumkthpow  29245  heiborlem3  29763  heiborlem4  29764  heiborlem6  29766  2rexfrabdioph  30184  elnn0rabdioph  30191  dvdsrabdioph  30198  jm2.17a  30353  jm2.17b  30354  expdiophlem1  30420  expdiophlem2  30421  hbt  30536  ioodvbdlimc1lem2  31081  ioodvbdlimc2lem  31083  stoweidlem17  31136  wallispilem1  31184  stirlinglem5  31197  extwwlkfablem2  31797  numclwwlkovf2ex  31805  numclwlk2lem2f  31822
  Copyright terms: Public domain W3C validator