MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn0 10607
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10582 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10602 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755  (class class class)co 6080   1c1 9270    + caddc 9272   NN0cn0 10566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-ov 6083  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410  df-nn 10310  df-n0 10567
This theorem is referenced by:  leexp2r  11904  expnbnd  11976  facdiv  12046  facwordi  12048  faclbnd  12049  faclbnd2  12050  faclbnd3  12051  faclbnd6  12058  bcnp1n  12073  bcp1m1  12079  bcpasc  12080  hashfz  12171  hashf1  12193  brfi1indlem  12201  brfi1uzind  12202  swrds2  12528  iseraltlem2  13143  bcxmas  13280  climcndslem1  13294  climcnds  13296  geolim  13312  geo2sum  13315  mertenslem1  13326  mertenslem2  13327  mertens  13328  efcllem  13345  eftlub  13375  efsep  13376  effsumlt  13377  ruclem9  13502  bitsp1  13609  sadcp1  13633  smuval2  13660  smu01lem  13663  smup1  13667  nn0seqcvgd  13727  algcvg  13733  nonsq  13819  iserodd  13884  pcprendvds  13889  pcpremul  13892  pcdvdsb  13917  4sqlem11  13998  vdwapun  14017  vdwlem1  14024  vdwlem9  14032  ramub1  14071  ramcl  14072  decexp2  14086  sylow1lem3  16078  efgsfo  16215  efgred  16224  cpnord  21250  ply1divex  21492  fta1glem1  21521  fta1glem2  21522  fta1g  21523  plyco0  21544  plyaddlem1  21565  plymullem1  21566  plyco  21593  dvply1  21634  dvply2g  21635  aaliou3lem8  21695  aaliou3lem9  21700  dvtaylp  21719  dvradcnv  21770  pserdvlem2  21777  advlogexp  21984  atantayl3  22218  leibpi  22221  log2cnv  22223  ftalem4  22297  ftalem5  22298  perfectlem1  22452  bcp1ctr  22502  dchrisum0flblem1  22641  ostth2lem2  22767  ostth2lem3  22768  eupap1  23419  eupath2lem3  23422  eupath2  23423  nndiffz1  25897  subfacval2  26922  erdsze2lem1  26938  risefacp1  27378  fallfacp1  27379  binomfallfaclem1  27388  binomfallfaclem2  27389  fsumkthpow  28045  heiborlem3  28553  heiborlem4  28554  heiborlem6  28556  2rexfrabdioph  28976  elnn0rabdioph  28983  dvdsrabdioph  28990  jm2.17a  29145  jm2.17b  29146  expdiophlem1  29212  expdiophlem2  29213  hbt  29328  stoweidlem17  29655  wallispilem1  29703  stirlinglem5  29716  elfzom1p1elfzo  30058  fzonn0p1p1  30059  elfzom1elp1fzo  30061  wwlknred  30198  wwlknext  30199  wwlknextbi  30200  wwlknredwwlkn  30201  wwlknredwwlkn0  30202  wwlknfi  30213  clwwlkf  30299  clwlkfclwwlk1hash  30358  wwlkextproplem2  30404  wwlkextproplem3  30405  rusgranumwlks  30417  extwwlkfablem2  30514  numclwwlkovf2ex  30522  numclwlk2lem2f  30539
  Copyright terms: Public domain W3C validator