MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn0 10612
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10587 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10607 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 671 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6086   1c1 9275    + caddc 9277   NN0cn0 10571
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-nn 10315  df-n0 10572
This theorem is referenced by:  leexp2r  11913  expnbnd  11985  facdiv  12055  facwordi  12057  faclbnd  12058  faclbnd2  12059  faclbnd3  12060  faclbnd6  12067  bcnp1n  12082  bcp1m1  12088  bcpasc  12089  hashfz  12180  hashf1  12202  brfi1indlem  12210  brfi1uzind  12211  swrds2  12537  iseraltlem2  13152  bcxmas  13290  climcndslem1  13304  climcnds  13306  geolim  13322  geo2sum  13325  mertenslem1  13336  mertenslem2  13337  mertens  13338  efcllem  13355  eftlub  13385  efsep  13386  effsumlt  13387  ruclem9  13512  bitsp1  13619  sadcp1  13643  smuval2  13670  smu01lem  13673  smup1  13677  nn0seqcvgd  13737  algcvg  13743  nonsq  13829  iserodd  13894  pcprendvds  13899  pcpremul  13902  pcdvdsb  13927  4sqlem11  14008  vdwapun  14027  vdwlem1  14034  vdwlem9  14042  ramub1  14081  ramcl  14082  decexp2  14096  sylow1lem3  16090  efgsfo  16227  efgred  16236  srgbinomlem3  16630  srgbinomlem4  16631  cpnord  21389  ply1divex  21588  fta1glem1  21617  fta1glem2  21618  fta1g  21619  plyco0  21640  plyaddlem1  21661  plymullem1  21662  plyco  21689  dvply1  21730  dvply2g  21731  aaliou3lem8  21791  aaliou3lem9  21796  dvtaylp  21815  dvradcnv  21866  pserdvlem2  21873  advlogexp  22080  atantayl3  22314  leibpi  22317  log2cnv  22319  ftalem4  22393  ftalem5  22394  perfectlem1  22548  bcp1ctr  22598  dchrisum0flblem1  22737  ostth2lem2  22863  ostth2lem3  22864  eupap1  23565  eupath2lem3  23568  eupath2  23569  nndiffz1  26043  subfacval2  27044  erdsze2lem1  27060  risefacp1  27501  fallfacp1  27502  binomfallfaclem1  27511  binomfallfaclem2  27512  fsumkthpow  28168  heiborlem3  28683  heiborlem4  28684  heiborlem6  28686  2rexfrabdioph  29105  elnn0rabdioph  29112  dvdsrabdioph  29119  jm2.17a  29274  jm2.17b  29275  expdiophlem1  29341  expdiophlem2  29342  hbt  29457  stoweidlem17  29783  wallispilem1  29831  stirlinglem5  29844  elfzom1p1elfzo  30186  fzonn0p1p1  30187  elfzom1elp1fzo  30189  wwlknred  30326  wwlknext  30327  wwlknextbi  30328  wwlknredwwlkn  30329  wwlknredwwlkn0  30330  wwlknfi  30341  clwwlkf  30427  clwlkfclwwlk1hash  30486  wwlkextproplem2  30532  wwlkextproplem3  30533  rusgranumwlks  30545  extwwlkfablem2  30642  numclwwlkovf2ex  30650  numclwlk2lem2f  30667  assamulgscmlem2  30787
  Copyright terms: Public domain W3C validator