MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn0 10832
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10807 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10827 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 669 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484   NN0cn0 10791
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10532  df-n0 10792
This theorem is referenced by:  nn0split  11794  fzonn0p1p1  11875  elfzom1p1elfzo  11876  leexp2r  12205  expnbnd  12277  facdiv  12347  facwordi  12349  faclbnd  12350  faclbnd2  12351  faclbnd3  12352  faclbnd6  12359  bcnp1n  12374  bcp1m1  12380  bcpasc  12381  hashfz  12469  hashf1  12490  brfi1indlem  12515  brfi1uzind  12516  swrds2  12874  iseraltlem2  13587  bcxmas  13729  climcndslem1  13743  climcnds  13745  geolim  13761  geo2sum  13764  mertenslem1  13775  mertenslem2  13776  mertens  13777  efcllem  13895  eftlub  13926  efsep  13927  effsumlt  13928  ruclem9  14055  bitsp1  14165  sadcp1  14189  smuval2  14216  smu01lem  14219  smup1  14223  nn0seqcvgd  14283  algcvg  14289  nonsq  14376  iserodd  14443  pcprendvds  14448  pcpremul  14451  pcdvdsb  14476  4sqlem11  14557  vdwapun  14576  vdwlem1  14583  vdwlem9  14591  ramub1  14630  ramcl  14631  decexp2  14645  sylow1lem3  16819  efgsfo  16956  efgred  16965  telgsums  17217  telgsum  17218  srgbinomlem3  17388  srgbinomlem4  17389  assamulgscmlem2  18193  chfacffsupp  19524  chfacfscmulfsupp  19527  chfacfscmulgsum  19528  chfacfpmmulfsupp  19531  chfacfpmmulgsum  19532  cpnord  22504  ply1divex  22703  fta1glem1  22732  fta1glem2  22733  fta1g  22734  plyco0  22755  plyaddlem1  22776  plymullem1  22777  plyco  22804  dvply1  22846  dvply2g  22847  aaliou3lem8  22907  aaliou3lem9  22912  dvtaylp  22931  dvradcnv  22982  pserdvlem2  22989  advlogexp  23204  atantayl3  23467  leibpi  23470  log2cnv  23472  ftalem4  23547  ftalem5  23548  perfectlem1  23702  bcp1ctr  23752  dchrisum0flblem1  23891  ostth2lem2  24017  ostth2lem3  24018  wwlknred  24925  wwlknext  24926  wwlknextbi  24927  wwlknredwwlkn  24928  wwlknredwwlkn0  24929  wwlknfi  24940  wwlkextproplem2  24944  wwlkextproplem3  24945  clwwlkf  24996  clwlkfclwwlk1hash  25044  rusgranumwlks  25158  eupap1  25178  eupath2lem3  25181  eupath2  25182  extwwlkfablem2  25280  numclwwlkovf2ex  25288  numclwlk2lem2f  25305  nndiffz1  27830  subfacval2  28895  erdsze2lem1  28911  risefacp1  29392  fallfacp1  29393  binomfallfaclem1  29402  binomfallfaclem2  29403  fsumkthpow  30046  heiborlem3  30549  heiborlem4  30550  heiborlem6  30552  2rexfrabdioph  30969  elnn0rabdioph  30976  dvdsrabdioph  30983  jm2.17a  31137  jm2.17b  31138  expdiophlem1  31202  expdiophlem2  31203  hbt  31320  bccp1k  31487  binomcxplemnn0  31495  ioodvbdlimc1lem2  31968  ioodvbdlimc2lem  31970  dvnmul  31979  stoweidlem17  32038  wallispilem1  32086  stirlinglem5  32099  etransclem23  32279  etransclem46  32302  etransclem48  32304  pfxccatpfx2  32656  pfxccat3a  32657  nn0ob  33394  nn0eo  33399  fllog2  33443  dignnld  33478  0dig2nn0o  33488  dignn0ehalf  33492  dignn0flhalf  33493  nn0sumshdiglemA  33494  aacllem  33604  cotrclrcl  38232
  Copyright terms: Public domain W3C validator