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Theorem wwlksnextproplem2 41116
 Description: Lemma 2 for wwlkextprop 26272. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem2 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸)

Proof of Theorem wwlksnextproplem2
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2610 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2 wwlksnextprop.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 2wwlknp 41045 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
4 fzonn0p1 12411 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
54adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
6 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → (𝑊𝑖) = (𝑊𝑁))
7 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 + 1) = (𝑁 + 1))
87fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑁 → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
96, 8preq12d 4220 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑁 → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
109eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑁 → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
1110rspcv 3278 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
125, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
1312imp 444 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
14 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
15 1zzd 11285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
16 lencl 13179 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
1716nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
1817ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) ∈ ℤ)
19 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2019nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
2215, 18, 213jca 1235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
23 nn0ge0 11195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
24 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℝ)
25 nn0re 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
2624, 25addge02d 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 1 ≤ (𝑁 + 1)))
2723, 26mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
2827adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
2919nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
3029lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
31 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
3230, 31syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))))
3433com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))))
3516, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))))
3635imp31 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))
3728, 36jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊)))
38 elfz2 12204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)) ↔ ((1 ∈ ℤ ∧ (#‘𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ (#‘𝑊))))
3922, 37, 38sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))
4014, 39jca 553 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
41 swrd0fvlsw 13295 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)))
43 nn0cn 11179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
44 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
4543, 44pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4645fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊𝑁))
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((𝑁 + 1) − 1)) = (𝑊𝑁))
4842, 47eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑊𝑁))
49 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
5049ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)))
51 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((#‘𝑊) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
5251fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)))
5419nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
5554, 44pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
5655fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊‘(((𝑁 + 1) + 1) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
5753, 56sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘((#‘𝑊) − 1)) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
5850, 57eqtrd 2644 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘(𝑁 + 1)))
5948, 58preq12d 4220 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} = {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))})
6059eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ({( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
6160adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ({( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊𝑁), (𝑊‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
6213, 61mpbird 246 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸)
6362exp31 628 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
6463com23 84 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸)))
65643impia 1253 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸))
663, 65syl 17 . . 3 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸))
67 wwlksnextprop.x . . 3 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
6866, 67eleq2s 2706 . 2 (𝑊𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸))
6968imp 444 1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {( lastS ‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)), ( lastS ‘𝑊)} ∈ 𝐸)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792   WWalkSN cwwlksn 41029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034 This theorem is referenced by:  wwlksnextprop  41118
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