Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  wwlksnextproplem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnextproplem1 41115
 Description: Lemma 1 for wwlkextprop 26272. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jul-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem wwlksnextproplem1
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2 41063 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))
2 0zd 11266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ ℤ)
3 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
43nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
52, 4jca 553 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ))
6 1z 11284 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℤ
76a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℤ)
87, 7jca 553 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
95, 8jca 553 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)))
109adantl 481 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)))
11 fzssp1 12255 . . . . . . . . . . . 12 (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1))
12 nn0fz0 12306 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
1312biimpi 205 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
1411, 13sseldi 3566 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
1514adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
16 elfz3 12222 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ (1...1))
176, 16mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ (1...1))
1815, 17jca 553 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 1 ∈ (1...1)))
19 fzadd2 12247 . . . . . . . . 9 (((0 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (1 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → ((𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ∧ 1 ∈ (1...1)) → (𝑁 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1))))
2010, 18, 19sylc 63 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1)))
21 1e0p1 11428 . . . . . . . . . 10 1 = (0 + 1)
2221a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 = (0 + 1))
23 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))
2422, 23oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (1...(#‘𝑊)) = ((0 + 1)...((𝑁 + 1) + 1)))
2520, 24eleqtrrd 2691 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))
2625ex 449 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
27 simpl 472 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2826, 27jctild 564 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (#‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
291, 28syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
30 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalkSN 𝐺)
3129, 30eleq2s 2706 . . 3 (𝑊𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊)))))
3231imp 444 . 2 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))))
33 swrd0fv0 13292 . 2 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
3432, 33syl 17 1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  #chash 12979  Word cword 13146   substr csubstr 13150  Vtxcvtx 25673   WWalkSN cwwlksn 41029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-substr 13158  df-wwlks 41033  df-wwlksn 41034 This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3  41117  wwlksnextprop  41118
 Copyright terms: Public domain W3C validator