Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brfi1indlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brfi1indlem 13133
 Description: Lemma for brfi1ind 13136: The size of a set is the size of this set with one element removed, increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
brfi1indlem ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))

Proof of Theorem brfi1indlem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11210 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
2 eleq1a 2683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
32adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
43imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
5 hashclb 13011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑉𝑊 → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
65ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 246 . . . . . . . . . 10 ((((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
87ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝑌 + 1) ∈ ℕ0𝑉𝑊) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
98ex 449 . . . . . . . 8 ((𝑌 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
101, 9syl 17 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑉𝑊 → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin)))
1110impcom 445 . . . . . 6 ((𝑉𝑊𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
12113adant2 1073 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → 𝑉 ∈ Fin))
1312imp 444 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → 𝑉 ∈ Fin)
14 snssi 4280 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → {𝑁} ⊆ 𝑉)
15143ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
1615adantr 480 . . . 4 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → {𝑁} ⊆ 𝑉)
17 hashssdif 13061 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ {𝑁} ⊆ 𝑉) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})))
1813, 16, 17syl2anc 691 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})))
19 oveq1 6556 . . . 4 ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})))
20 hashsng 13020 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (#‘{𝑁}) = 1)
2120oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
22213ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = ((𝑌 + 1) − 1))
23 nn0cn 11179 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0𝑌 ∈ ℂ)
24 1cnd 9935 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
2523, 24pncand 10272 . . . . . 6 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
26253ad2ant3 1077 . . . . 5 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − 1) = 𝑌)
2722, 26eqtrd 2644 . . . 4 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((𝑌 + 1) − (#‘{𝑁})) = 𝑌)
2819, 27sylan9eqr 2666 . . 3 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → ((#‘𝑉) − (#‘{𝑁})) = 𝑌)
2918, 28eqtrd 2644 . 2 (((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (𝑌 + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌)
3029ex 449 1 ((𝑉𝑊𝑁𝑉𝑌 ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (𝑌 + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  #chash 12979 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-hash 12980 This theorem is referenced by:  fi1uzind  13134  brfi1indALT  13137  fi1uzindOLD  13140  brfi1indALTOLD  13143  cusgrasize2inds  26005  cusgrsize2inds  40669
 Copyright terms: Public domain W3C validator