Theorem cusgrsize2inds 40669

Description: Induction step in cusgrasize 26006. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.) (Revised by AV, 9-Nov-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cusgrsizeindb0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
cusgrsizeindb0.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
cusgrsizeinds.f	⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}

Assertion

Ref	Expression
cusgrsize2inds	⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))

Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑒)   𝑌(𝑒)

Proof of Theorem cusgrsize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusgrsizeindb0.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		fvex 6113	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2684	. . . 4 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		hashnn0n0nn 13041	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	anassrs 678	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
6		simplll 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
7		simplr 788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ 𝑉)
8		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌 = (#‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
9	8	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
10		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
12	11	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
13	12	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
14		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
15		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + 1) = (#‘𝑉))
17	16	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
18	9, 17	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
19	18	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
20	19	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
21		brfi1indlem 13133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1)))
22	21	imp 444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
23	6, 7, 13, 20, 22	syl31anc 1321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
24		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((#‘𝑉) − 1)C2))
25	24	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)))
26	9	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
27		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
28		hashclb 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
29	27, 28	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
30	29	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
31		cusgrsizeindb0.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
32		cusgrsizeinds.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐹 = {𝑒 ∈ 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ 𝑒}
33	1, 31, 32	cusgrsizeinds 40668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)))
34		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)))
35	34	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
37		bcn2m1 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) = ((#‘𝑉)C2))
38	37	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
39	38	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
40	39	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
41	36, 40	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
42	41	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
43	42	com3r 85	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
44	33, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
45	44	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
46	45	com14 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
48	30, 47	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
49	48	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
50	49	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
52	51	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
53	26, 52	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
54	53	imp 444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
55	54	com13 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
56	25, 55	syl6bi 242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
57	56	com24 93	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
58	23, 57	mpcom 37	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
59	58	ex 449	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
60	59	adantllr 751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
61	5, 60	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
62	61	exp41 636	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
63	62	com25 97	. . . 4 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
64	3, 63	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ ComplUSGraph → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
65	64	3imp 1249	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
66	65	com12 32	1 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ ComplUSGraph ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  Ccbc 12951  #chash 12979  Vtxcvtx 25673  Edgcedga 25792  ComplUSGraphccusgr 40553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-vtx 25675  df-iedg 25676  df-uhgr 25724  df-upgr 25749  df-umgr 25750  df-edga 25793  df-uspgr 40380  df-usgr 40381  df-fusgr 40536  df-nbgr 40554  df-uvtxa 40556  df-cplgr 40557  df-cusgr 40558

This theorem is referenced by:  cusgrsize  40670