MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brfi1indlem Structured version   Unicode version

Theorem brfi1indlem 12340
Description: Lemma for brfi1ind 12342: The size of a set is the size of this set with one element removed, increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
brfi1indlem  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  Y ) )

Proof of Theorem brfi1indlem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10735 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( Y  +  1 )  e. 
NN0 )
2 eleq1a 2537 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  ->  ( (
# `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 ) )
32adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  ->  ( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  -> 
( # `  V )  e.  NN0 ) )
43imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  + 
1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
5 hashclb 12249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
65ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  + 
1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( V  e. 
Fin 
<->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
74, 6mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  + 
1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  V  e.  Fin )
87ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  ->  ( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  ->  V  e.  Fin )
)
98ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  ->  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  V  e.  Fin ) ) )
101, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  V  e.  Fin ) ) )
1110impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  ->  V  e.  Fin )
)
12113adant2 1007 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  ->  V  e.  Fin )
)
1312imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  V  e.  Fin )
14 snssi 4128 . . . . . 6  |-  ( N  e.  V  ->  { N }  C_  V )
15143ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  ->  { N }  C_  V
)
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  { N }  C_  V )
17 hashssdif 12289 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { N }  C_  V
)  ->  ( # `  ( V  \  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  ( # `  { N } ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( # `  ( V  \  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  ( # `  { N } ) ) )
19 oveq1 6210 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  (
( # `  V )  -  ( # `  { N } ) )  =  ( ( Y  + 
1 )  -  ( # `
 { N }
) ) )
20 hashsng 12257 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  V  ->  ( # `
 { N }
)  =  1 )
2120oveq2d 6219 . . . . . 6  |-  ( N  e.  V  ->  (
( Y  +  1 )  -  ( # `  { N } ) )  =  ( ( Y  +  1 )  -  1 ) )
22213ad2ant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( Y  + 
1 )  -  ( # `
 { N }
) )  =  ( ( Y  +  1 )  -  1 ) )
23 nn0cn 10704 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  NN0  ->  Y  e.  CC )
24 ax-1cn 9455 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
2623, 25pncand 9835 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( Y  +  1 )  -  1 )  =  Y )
27263ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( Y  + 
1 )  -  1 )  =  Y )
2822, 27eqtrd 2495 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( Y  + 
1 )  -  ( # `
 { N }
) )  =  Y )
2919, 28sylan9eqr 2517 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( ( # `  V )  -  ( # `
 { N }
) )  =  Y )
3018, 29eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( # `  ( V  \  { N }
) )  =  Y )
3130ex 434 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3436    C_ wss 3439   {csn 3988   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Fincfn 7423   CCcc 9395   1c1 9398    + caddc 9400    - cmin 9710   NN0cn0 10694   #chash 12224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-card 8224  df-cda 8452  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-n0 10695  df-z 10762  df-uz 10977  df-fz 11559  df-hash 12225
This theorem is referenced by:  brfi1uzind  12341  cusgrasize2inds  23564
  Copyright terms: Public domain W3C validator