MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brfi1indlem Structured version   Unicode version

Theorem brfi1indlem 12512
Description: Lemma for brfi1ind 12514: The size of a set is the size of this set with one element removed, increased by 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
brfi1indlem  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  Y ) )

Proof of Theorem brfi1indlem
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 10848 . . . . . . . 8  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( Y  +  1 )  e. 
NN0 )
2 eleq1a 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  ->  ( (
# `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  ( # `
 V )  e. 
NN0 ) )
32adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  ->  ( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  -> 
( # `  V )  e.  NN0 ) )
43imp 429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  + 
1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
5 hashclb 12410 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( V  e.  W  ->  ( V  e.  Fin  <->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
65ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( Y  + 
1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( V  e. 
Fin 
<->  ( # `  V
)  e.  NN0 )
)
74, 6mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( Y  + 
1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  V  e.  Fin )
87ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  /\  V  e.  W )  ->  ( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  ->  V  e.  Fin )
)
98ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( Y  +  1 )  e.  NN0  ->  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  V  e.  Fin ) ) )
101, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( V  e.  W  ->  (
( # `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  V  e.  Fin ) ) )
1110impcom 430 . . . . . 6  |-  ( ( V  e.  W  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  ->  V  e.  Fin )
)
12113adant2 1015 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  ->  V  e.  Fin )
)
1312imp 429 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  V  e.  Fin )
14 snssi 4177 . . . . . 6  |-  ( N  e.  V  ->  { N }  C_  V )
15143ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  ->  { N }  C_  V
)
1615adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  { N }  C_  V )
17 hashssdif 12455 . . . 4  |-  ( ( V  e.  Fin  /\  { N }  C_  V
)  ->  ( # `  ( V  \  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  ( # `  { N } ) ) )
1813, 16, 17syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( # `  ( V  \  { N }
) )  =  ( ( # `  V
)  -  ( # `  { N } ) ) )
19 oveq1 6302 . . . 4  |-  ( (
# `  V )  =  ( Y  + 
1 )  ->  (
( # `  V )  -  ( # `  { N } ) )  =  ( ( Y  + 
1 )  -  ( # `
 { N }
) ) )
20 hashsng 12418 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  V  ->  ( # `
 { N }
)  =  1 )
2120oveq2d 6311 . . . . . 6  |-  ( N  e.  V  ->  (
( Y  +  1 )  -  ( # `  { N } ) )  =  ( ( Y  +  1 )  -  1 ) )
22213ad2ant2 1018 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( Y  + 
1 )  -  ( # `
 { N }
) )  =  ( ( Y  +  1 )  -  1 ) )
23 nn0cn 10817 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  NN0  ->  Y  e.  CC )
24 ax-1cn 9562 . . . . . . . 8  |-  1  e.  CC
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  NN0  ->  1  e.  CC )
2623, 25pncand 9943 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  NN0  ->  ( ( Y  +  1 )  -  1 )  =  Y )
27263ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( Y  + 
1 )  -  1 )  =  Y )
2822, 27eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( Y  + 
1 )  -  ( # `
 { N }
) )  =  Y )
2919, 28sylan9eqr 2530 . . 3  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( ( # `  V )  -  ( # `
 { N }
) )  =  Y )
3018, 29eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  /\  ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 ) )  ->  ( # `  ( V  \  { N }
) )  =  Y )
3130ex 434 1  |-  ( ( V  e.  W  /\  N  e.  V  /\  Y  e.  NN0 )  -> 
( ( # `  V
)  =  ( Y  +  1 )  -> 
( # `  ( V 
\  { N }
) )  =  Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3478    C_ wss 3481   {csn 4033   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   CCcc 9502   1c1 9505    + caddc 9507    - cmin 9817   NN0cn0 10807   #chash 12385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-hash 12386
This theorem is referenced by:  brfi1uzind  12513  cusgrasize2inds  24300
  Copyright terms: Public domain W3C validator