Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cusgrasize2inds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cusgrasize2inds 26005
 Description: Induction step in cusgrasize 26006. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
cusgrares.f 𝐹 = (𝐸 ↾ {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑥)})
Assertion
Ref Expression
cusgrasize2inds (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cusgrasize2inds
StepHypRef Expression
1 cusisusgra 25987 . . . . 5 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸𝑉 USGrph 𝐸)
2 usgrav 25867 . . . . 5 (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
31, 2syl 17 . . . 4 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
4 hashnn0n0nn 13041 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
54anassrs 678 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
6 simplll 794 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
7 simplr 788 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁𝑉)
8 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑌 = (#‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
98eqcoms 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
10 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
119, 10syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1211ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
1312imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
14 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
15 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
1614, 15npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + 1) = (#‘𝑉))
1716eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
189, 17syl6bi 242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
1918ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
2019imp 444 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
21 brfi1indlem 13133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1)))
2221imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
236, 7, 13, 20, 22syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
24 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((#‘𝑉) − 1)C2))
2524eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)))
269ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
27 nnnn0 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
28 hashclb 13011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
2927, 28syl5ibrcom 236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
3029impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
31 cusgrares.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 𝐹 = (𝐸 ↾ {𝑥 ∈ dom 𝐸𝑁 ∉ (𝐸𝑥)})
3231cusgrasizeinds 26004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)))
33 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)))
3433eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
3534adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
36 bcn2m1 12973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) = ((#‘𝑉)C2))
3736eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
3837biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
3938adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
4035, 39sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
4140ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
4241com3r 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
4332, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
44433exp 1256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4544com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4730, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
4847ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
4948com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑉 ∈ V → (𝑁𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
5049adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
5150imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5226, 51sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5352imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
5453com13 86 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
5525, 54syl6bi 242 . . . . . . . . . . . 12 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5655com24 93 . . . . . . . . . . 11 ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5723, 56mpcom 37 . . . . . . . . . 10 ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
5857ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
5958adantllr 751 . . . . . . . 8 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
605, 59mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁𝑉) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
6160exp41 636 . . . . . 6 (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
6261com25 97 . . . . 5 (𝑉 ∈ V → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
6362adantr 480 . . . 4 ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
643, 63mpcom 37 . . 3 (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
65643imp 1249 . 2 ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
6665com12 32 1 (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌𝑁𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  Ccbc 12951  #chash 12979   USGrph cusg 25859   ComplUSGrph ccusgra 25947 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-cusgra 25950 This theorem is referenced by:  cusgrasize  26006
 Copyright terms: Public domain W3C validator