Theorem cusgrasize2inds 26005

Description: Induction step in cusgrasize 26006. If the size of the complete graph with 𝑛 vertices reduced by one vertex is "(𝑛 − 1) choose 2", the size of the complete graph with 𝑛 vertices is "𝑛 choose 2". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Jan-2018.)

Hypothesis

Ref	Expression
cusgrares.f	⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑥)})

Assertion

Ref	Expression
cusgrasize2inds	⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐸   𝑥,𝑁   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cusgrasize2inds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cusisusgra 25987	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → 𝑉 USGrph 𝐸)
2		usgrav 25867	. . . . 5 ⊢ (𝑉 USGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V))
4		hashnn0n0nn 13041	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ ((#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)) → 𝑌 ∈ ℕ)
5	4	anassrs 678	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ ℕ)
6		simplll 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ V)
7		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ 𝑉)
8		eleq1 2676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑌 = (#‘𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
9	8	eqcoms 2618	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
10		nnm1nn0 11211	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
12	11	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0))
13	12	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0)
14		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℂ)
15		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
16	14, 15	npcand 10275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + 1) = (#‘𝑉))
17	16	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
18	9, 17	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
19	18	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)))
20	19	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1))
21		brfi1indlem 13133	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) → ((#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1)))
22	21	imp 444	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉 ∧ ((#‘𝑉) − 1) ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = (((#‘𝑉) − 1) + 1)) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
23	6, 7, 13, 20, 22	syl31anc 1321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1))
24		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) = (((#‘𝑉) − 1)C2))
25	24	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) ↔ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)))
26	9	ad2antlr 759	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ))
27		nnnn0 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (#‘𝑉) ∈ ℕ0)
28		hashclb 13011	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ∈ Fin ↔ (#‘𝑉) ∈ ℕ0))
29	27, 28	syl5ibrcom 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ V → 𝑉 ∈ Fin))
30	29	impcom 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → 𝑉 ∈ Fin)
31		cusgrares.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 𝐹 = (𝐸 ↾ {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ 𝑁 ∉ (𝐸‘𝑥)})
32	31	cusgrasizeinds 26004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)))
33		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)))
34	33	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) ↔ (#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2))))
36		bcn2m1 12973	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) = ((#‘𝑉)C2))
37	36	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) ↔ (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
38	37	biimpd 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
39	38	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (((#‘𝑉) − 1)C2)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
40	35, 39	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((#‘𝑉) ∈ ℕ ∧ (#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2)) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))
41	40	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
42	41	com3r 85	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((#‘𝐸) = (((#‘𝑉) − 1) + (#‘𝐹)) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
43	32, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
44	43	3exp 1256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
45	44	com14 94	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
46	45	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑉 ∈ Fin → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
47	30, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
48	47	ex 449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑉 ∈ V → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
49	48	com23 84	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) → (𝑁 ∈ 𝑉 → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
51	50	imp 444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝑉) ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
52	26, 51	sylbid 229	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
53	52	imp 444	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
54	53	com13 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((#‘𝐹) = (((#‘𝑉) − 1)C2) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
55	25, 54	syl6bi 242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
56	55	com24 93	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁})) = ((#‘𝑉) − 1) → ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
57	23, 56	mpcom 37	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
58	57	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑉 ∈ V ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
59	58	adantllr 751	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))
60	5, 59	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑉 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) ∧ (#‘𝑉) = 𝑌) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
61	60	exp41 636	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
62	61	com25 97	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ∈ V → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
63	62	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ V ∧ 𝐸 ∈ V) → (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2)))))))
64	3, 63	mpcom 37	. . 3 ⊢ (𝑉 ComplUSGrph 𝐸 → ((#‘𝑉) = 𝑌 → (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))))
65	64	3imp 1249	. 2 ⊢ ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑌 ∈ ℕ0 → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))
66	65	com12 32	1 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → ((𝑉 ComplUSGrph 𝐸 ∧ (#‘𝑉) = 𝑌 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → ((#‘𝐹) = ((#‘(𝑉 ∖ {𝑁}))C2) → (#‘𝐸) = ((#‘𝑉)C2))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ∉ wnel 2781  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537  {csn 4125   class class class wbr 4583  dom cdm 5038   ↾ cres 5040  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  1c1 9816   + caddc 9818   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  Ccbc 12951  #chash 12979   USGrph cusg 25859   ComplUSGrph ccusgra 25947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-usgra 25862  df-nbgra 25949  df-cusgra 25950

This theorem is referenced by:  cusgrasize  26006