Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cpnord Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cpnord 23504
 Description: Cn conditions are ordered by strength. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
cpnord ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))

Proof of Theorem cpnord
Dummy variables 𝑓 𝑛 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘𝑀))
21sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
32imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
4 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘𝑚))
54sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
65imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
7 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)))
87sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
98imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
10 fveq2 6103 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → ((Cn𝑆)‘𝑛) = ((Cn𝑆)‘𝑁))
1110sseq1d 3595 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) ↔ ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
1211imbi2d 329 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑛) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) ↔ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
13 ssid 3587 . . . . 5 ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)
14132a1i 12 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑀) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
15 simprl 790 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
16 recnprss 23474 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
1716ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑆 ⊆ ℂ)
19 simplll 794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
20 eluznn0 11633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2120adantll 746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
23 dvnf 23496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
2419, 15, 22, 23syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ)
25 dvnbss 23497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
2619, 15, 22, 25syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ dom 𝑓)
27 dvnp1 23494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
2818, 15, 22, 27syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) = (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)))
29 simprr 792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
3028, 29eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
31 cncff 22504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ)
33 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)):dom 𝑓⟶ℂ → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓)
35 cnex 9896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ℂ ∈ V
36 elpm2g 7760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆)))
3735, 19, 36sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ↔ (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆)))
3815, 37mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓:dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆))
3938simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom 𝑓𝑆)
4026, 39sstrd 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ⊆ 𝑆)
4118, 24, 40dvbss 23471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
4234, 41eqsstr3d 3603 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom 𝑓 ⊆ dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚))
4326, 42eqssd 3585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) = dom 𝑓)
4443feq2d 5944 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ))
4524, 44mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ)
46 dvcn 23490 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ⊆ ℂ ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚):dom 𝑓⟶ℂ ∧ dom 𝑓𝑆) ∧ dom (𝑆 D ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚)) = dom 𝑓) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
4718, 45, 39, 34, 46syl31anc 1321 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))
4815, 47jca 553 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)))
4948ex 449 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ)) → (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
50 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
5121, 50syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
52 elcpn 23503 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5317, 51, 52syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘(𝑚 + 1)) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
54 elcpn 23503 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5517, 21, 54syl2anc 691 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑚) ↔ (𝑓 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) ∧ ((𝑆 D𝑛 𝑓)‘𝑚) ∈ (dom 𝑓cn→ℂ))))
5649, 53, 553imtr4d 282 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) → 𝑓 ∈ ((Cn𝑆)‘𝑚)))
5756ssrdv 3574 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑚))
58 sstr2 3575 . . . . . . 7 (((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑚) → (((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
5957, 58syl 17 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
6059expcom 450 . . . . 5 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
6160a2d 29 . . . 4 (𝑚 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑚) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘(𝑚 + 1)) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))))
623, 6, 9, 12, 14, 61uzind4 11622 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
6362com12 32 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀)))
64633impia 1253 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((Cn𝑆)‘𝑁) ⊆ ((Cn𝑆)‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ⊆ wss 3540  {cpr 4127  dom cdm 5038  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑pm cpm 7745  ℂcc 9813  ℝcr 9814  1c1 9816   + caddc 9818  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  –cn→ccncf 22487   D cdv 23433   D𝑛 cdvn 23434  Cnccpn 23435 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438  df-cpn 23439 This theorem is referenced by:  cpncn  23505  c1lip2  23565
 Copyright terms: Public domain W3C validator