Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chfacfscmulfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chfacfscmulfsupp 20483
 Description: A mapping of scaled values of the "characteristic factor function" is finitely supported. (Contributed by AV, 8-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chfacfisf.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chfacfisf.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
chfacfisf.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
chfacfisf.y 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
chfacfisf.r × = (.r𝑌)
chfacfisf.s = (-g𝑌)
chfacfisf.0 0 = (0g𝑌)
chfacfisf.t 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
chfacfisf.g 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
chfacfscmulcl.x 𝑋 = (var1𝑅)
chfacfscmulcl.m · = ( ·𝑠𝑌)
chfacfscmulcl.e = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
chfacfscmulfsupp (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
Distinct variable groups:   𝐵,𝑛   𝑛,𝑀   𝑛,𝑁   𝑅,𝑛   𝑛,𝑌   𝑛,𝑏   𝑛,𝑠,𝐵   0 ,𝑛   𝐵,𝑖,𝑠   𝑖,𝐺   𝑖,𝑀   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   ,𝑖   · ,𝑏,𝑖
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝐵(𝑏)   𝑃(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑅(𝑠,𝑏)   𝑇(𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   · (𝑛,𝑠)   × (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   (𝑛,𝑠,𝑏)   𝐺(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑀(𝑠,𝑏)   (𝑖,𝑛,𝑠,𝑏)   𝑁(𝑠,𝑏)   𝑋(𝑛,𝑠,𝑏)   𝑌(𝑠,𝑏)   0 (𝑖,𝑠,𝑏)

Proof of Theorem chfacfscmulfsupp
Dummy variables 𝑘 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 chfacfisf.0 . . . 4 0 = (0g𝑌)
2 fvex 6113 . . . 4 (0g𝑌) ∈ V
31, 2eqeltri 2684 . . 3 0 ∈ V
43a1i 11 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → 0 ∈ V)
5 ovex 6577 . . 3 ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) ∈ V
65a1i 11 . 2 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) ∈ V)
7 nnnn0 11176 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℕ0)
8 peano2nn0 11210 . . . . 5 (𝑠 ∈ ℕ0 → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
97, 8syl 17 . . . 4 (𝑠 ∈ ℕ → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
109ad2antrl 760 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℕ0)
11 vex 3176 . . . . . . 7 𝑘 ∈ V
12 csbov12g 6587 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = (𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) · 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)))
13 csbov1g 6588 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) = (𝑘 / 𝑖𝑖 𝑋))
14 csbvarg 3955 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖𝑖 = 𝑘)
1514oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖𝑖 𝑋) = (𝑘 𝑋))
1613, 15eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) = (𝑘 𝑋))
17 csbfv 6143 . . . . . . . . . 10 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘)
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖) = (𝐺𝑘))
1916, 18oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ V → (𝑘 / 𝑖(𝑖 𝑋) · 𝑘 / 𝑖(𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
2012, 19eqtrd 2644 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ V → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
2111, 20mp1i 13 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)))
22 simplll 794 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵))
23 simpllr 795 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))))
247adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2524ad2antlr 759 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℕ0)
2625nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑠 ∈ ℤ)
2726adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑠 ∈ ℤ)
28 2z 11286 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
2928a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 2 ∈ ℤ)
3027, 29zaddcld 11362 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ∈ ℤ)
31 simplr 788 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℕ0)
3231nn0zd 11356 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ ℤ)
3310nn0zd 11356 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑠 + 1) ∈ ℤ)
34 nn0z 11277 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ)
35 zltp1le 11304 . . . . . . . . . . 11 (((𝑠 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3633, 34, 35syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
3736biimpa 500 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘)
38 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℕ → 𝑠 ∈ ℂ)
39 add1p1 11160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ ℂ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 1) + 1) = (𝑠 + 2))
4140breq1d 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℕ → (((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘 ↔ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4241bicomd 212 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ℕ → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4342adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4443ad2antlr 759 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4544adantr 480 . . . . . . . . 9 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑠 + 2) ≤ 𝑘 ↔ ((𝑠 + 1) + 1) ≤ 𝑘))
4637, 45mpbird 246 . . . . . . . 8 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → (𝑠 + 2) ≤ 𝑘)
47 eluz2 11569 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)) ↔ ((𝑠 + 2) ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ ∧ (𝑠 + 2) ≤ 𝑘))
4830, 32, 46, 47syl3anbrc 1239 . . . . . . 7 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2)))
49 chfacfisf.a . . . . . . . 8 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
50 chfacfisf.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐴)
51 chfacfisf.p . . . . . . . 8 𝑃 = (Poly1𝑅)
52 chfacfisf.y . . . . . . . 8 𝑌 = (𝑁 Mat 𝑃)
53 chfacfisf.r . . . . . . . 8 × = (.r𝑌)
54 chfacfisf.s . . . . . . . 8 = (-g𝑌)
55 chfacfisf.t . . . . . . . 8 𝑇 = (𝑁 matToPolyMat 𝑅)
56 chfacfisf.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑛 = 0, ( 0 ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏‘0)))), if(𝑛 = (𝑠 + 1), (𝑇‘(𝑏𝑠)), if((𝑠 + 1) < 𝑛, 0 , ((𝑇‘(𝑏‘(𝑛 − 1))) ((𝑇𝑀) × (𝑇‘(𝑏𝑛))))))))
57 chfacfscmulcl.x . . . . . . . 8 𝑋 = (var1𝑅)
58 chfacfscmulcl.m . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑌)
59 chfacfscmulcl.e . . . . . . . 8 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
6049, 50, 51, 52, 53, 54, 1, 55, 56, 57, 58, 59chfacfscmul0 20482 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑠 + 2))) → ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)) = 0 )
6122, 23, 48, 60syl3anc 1318 . . . . . 6 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → ((𝑘 𝑋) · (𝐺𝑘)) = 0 )
6221, 61eqtrd 2644 . . . . 5 (((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑠 + 1) < 𝑘) → 𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )
6362ex 449 . . . 4 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
6463ralrimiva 2949 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
65 breq1 4586 . . . . . 6 (𝑧 = (𝑠 + 1) → (𝑧 < 𝑘 ↔ (𝑠 + 1) < 𝑘))
6665imbi1d 330 . . . . 5 (𝑧 = (𝑠 + 1) → ((𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ) ↔ ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )))
6766ralbidv 2969 . . . 4 (𝑧 = (𝑠 + 1) → (∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )))
6867rspcev 3282 . . 3 (((𝑠 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ ℕ0 ((𝑠 + 1) < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 )) → ∃𝑧 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
6910, 64, 68syl2anc 691 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → ∃𝑧 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0 (𝑧 < 𝑘𝑘 / 𝑖((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖)) = 0 ))
704, 6, 69mptnn0fsupp 12659 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵) ∧ (𝑠 ∈ ℕ ∧ 𝑏 ∈ (𝐵𝑚 (0...𝑠)))) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖 𝑋) · (𝐺𝑖))) finSupp 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  Vcvv 3173  ⦋csb 3499  ifcif 4036   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ↑𝑚 cmap 7744  Fincfn 7841   finSupp cfsupp 8158  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  Basecbs 15695  .rcmulr 15769   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  -gcsg 17247  .gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  CRingccrg 18371  var1cv1 19367  Poly1cpl1 19368   Mat cmat 20032   matToPolyMat cmat2pmat 20328 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-sra 18993  df-rgmod 18994  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-dsmm 19895  df-frlm 19910  df-mat 20033 This theorem is referenced by:  chfacfscmulgsum  20484
 Copyright terms: Public domain W3C validator