Theorem swrds2 13533

Description: Extract two adjacent symbols from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.)

Assertion

Ref	Expression
swrds2	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Proof of Theorem swrds2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		simp2 1055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℕ0)
3		elfzo0 12376	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ (𝐼 + 1) < (#‘𝑊)))
4	3	simp2bi 1070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
5	4	3ad2ant3 1077	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℕ)
6	2	nn0red 11229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℝ)
7		peano2nn0 11210	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
8	2, 7	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℕ0)
9	8	nn0red 11229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
10	5	nnred 10912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (#‘𝑊) ∈ ℝ)
11	6	lep1d 10834	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ≤ (𝐼 + 1))
12		elfzolt2 12348	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) → (𝐼 + 1) < (#‘𝑊))
13	12	3ad2ant3 1077	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) < (#‘𝑊))
14	6, 9, 10, 11, 13	lelttrd 10074	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 < (#‘𝑊))
15		elfzo0 12376	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (#‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 𝐼 < (#‘𝑊)))
16	2, 5, 14, 15	syl3anbrc 1239	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊)))
17		swrds1 13303	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
18	1, 16, 17	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩)
19		nn0cn 11179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℕ0 → 𝐼 ∈ ℂ)
20	19	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
21		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
22		addass 9902	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
23	21, 21, 22	mp3an23 1408	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → ((𝐼 + 1) + 1) = (𝐼 + (1 + 1)))
24		df-2 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
25	24	oveq2i 6560	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 + 2) = (𝐼 + (1 + 1))
26	23, 25	syl6reqr 2663	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ ℂ → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
27	20, 26	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 2) = ((𝐼 + 1) + 1))
28	27	opeq2d 4347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩ = ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩)
29	28	oveq2d 6565	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩))
30		swrds1 13303	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
31	30	3adant2 1073	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), ((𝐼 + 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
32	29, 31	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
33	18, 32	oveq12d 6567	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩))
34		df-s2 13444	. . 3 ⊢ ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = (⟨“(𝑊‘𝐼)”⟩ ++ ⟨“(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)
35	33, 34	syl6reqr 2663	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩ = ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)))
36		elfz2nn0 12300	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝐼 ≤ (𝐼 + 1)))
37	2, 8, 11, 36	syl3anbrc 1239	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
38		peano2nn0 11210	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
39	8, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
40	27, 39	eqeltrd 2688	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ ℕ0)
41	9	lep1d 10834	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ ((𝐼 + 1) + 1))
42	41, 27	breqtrrd 4611	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2))
43		elfz2nn0 12300	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 2) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ≤ (𝐼 + 2)))
44	8, 40, 42, 43	syl3anbrc 1239	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)))
45		fzofzp1 12431	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
46	45	3ad2ant3 1077	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) + 1) ∈ (0...(#‘𝑊)))
47	27, 46	eqeltrd 2688	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝐼 + 2) ∈ (0...(#‘𝑊)))
48		ccatswrd 13308	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(𝐼 + 2)) ∧ (𝐼 + 2) ∈ (0...(#‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
49	1, 37, 44, 47, 48	syl13anc 1320	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨(𝐼 + 1), (𝐼 + 2)⟩)) = (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩))
50	35, 49	eqtr2d 2645	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝐼 ∈ ℕ0 ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0..^(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 2)⟩) = ⟨“(𝑊‘𝐼)(𝑊‘(𝐼 + 1))”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   < clt 9953   ≤ cle 9954  ℕcn 10897  2c2 10947  ℕ₀cn0 11169  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   ++ cconcat 13148  ⟨“cs1 13149   substr csubstr 13150  ⟨“cs2 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-concat 13156  df-s1 13157  df-substr 13158  df-s2 13444

This theorem is referenced by:  swrd2lsw  13543  psgnunilem2  17738