Theorem fmtnoprmfac2lem1 40016

Description: Lemma for fmtnoprmfac2 40017. (Contributed by AV, 26-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnoprmfac2lem1	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)

Proof of Theorem fmtnoprmfac2lem1

Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 11602	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		eldifi 3694	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		id 22	. . 3 ⊢ (𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁) → 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁))
4		fmtnoprmfac1 40015	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
5	1, 2, 3, 4	syl3an 1360	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
6		2z 11286	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
7		simp2 1055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
8		lgsvalmod 24841	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
9	8	eqcomd 2616	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
10	6, 7, 9	sylancr 694	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
11	10	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = ((2 /L 𝑃) mod 𝑃))
12		nncn 10905	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℂ)
14		2nn 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ)
16		eluzge2nn0 11603	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
17		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
19	15, 18	nnexpcld 12892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ)
20	19	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
22	13, 21	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛))
23		8cn 10983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℂ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ∈ ℂ)
25		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ∈ ℝ
26		8pos 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 < 8
27	25, 26	gtneii 10028	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ≠ 0
28	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 8 ≠ 0)
29	21, 24, 28	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) = (2↑(𝑁 + 1)))
30	29	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2↑(𝑁 + 1)) = (8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)))
31	30	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 𝑛) = ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛))
32	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 ∈ ℂ)
33	27	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 ≠ 0)
34	20, 32, 33	divcld 10680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℂ)
36	24, 35, 13	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((8 · ((2↑(𝑁 + 1)) / 8)) · 𝑛) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
37	22, 31, 36	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) = (8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)))
38	37	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1))
39	38	eqeq2d 2620	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)))
40		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) = (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8))
42		3m1e2 11014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (3 − 1) = 2
43		eluzle 11576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑁)
44	42, 43	syl5eqbr 4618	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (3 − 1) ≤ 𝑁)
45		3re 10971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 3 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ∈ ℝ)
47		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ∈ ℝ)
48		eluzelre 11574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℝ)
49	46, 47, 48	lesubaddd 10503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((3 − 1) ≤ 𝑁 ↔ 3 ≤ (𝑁 + 1)))
50	44, 49	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ≤ (𝑁 + 1))
51		3nn0 11187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℕ0
52		nn0sub 11220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
53	51, 18, 52	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (3 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0))
54	50, 53	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 + 1) − 3) ∈ ℕ0)
55	15, 54	nnexpcld 12892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℕ)
56	55	nnzd 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) ∈ ℤ)
57		oveq2 6557	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → (8 · 𝑘) = (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))))
58	57	eqeq1d 2612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3)) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
59	58	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 = (2↑((𝑁 + 1) − 3))) → ((8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1))))
60		cu2 12825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑3) = 8
61	60	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 8 = (2↑3)
62	61	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 8 = (2↑3))
63		2cnne0 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
64	63	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
65		eluzelz 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℤ)
66	65	peano2zd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
67		3z 11287	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 3 ∈ ℤ
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 3 ∈ ℤ)
69		expsub 12770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
70	64, 66, 68, 69	syl12anc 1316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) − 3)) = ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3)))
71	62, 70	oveq12d 6567	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))))
72		nnexpcl 12735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 3 ∈ ℕ0) → (2↑3) ∈ ℕ)
73	14, 51, 72	mp2an 704	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (2↑3) ∈ ℕ
74	73	nncni 10907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2↑3) ∈ ℂ
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑3) ∈ ℂ)
76		2cn 10968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℂ
77		2ne0 10990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ≠ 0
78		expne0i 12754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℤ) → (2↑3) ≠ 0)
79	76, 77, 67, 78	mp3an 1416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2↑3) ≠ 0
80	79	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑3) ≠ 0)
81	20, 75, 80	divcan2d 10682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑3) · ((2↑(𝑁 + 1)) / (2↑3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
82	71, 81	eqtrd 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (8 · (2↑((𝑁 + 1) − 3))) = (2↑(𝑁 + 1)))
83	56, 59, 82	rspcedvd 3289	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)))
84		8nn 11068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 8 ∈ ℕ
85		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℕ0
86	85	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
87	86, 18	nn0expcld 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
88	87	nn0zd 11356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
89		zdiv 11323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((8 ∈ ℕ ∧ (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℤ) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
90	84, 88, 89	sylancr 694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (∃𝑘 ∈ ℤ (8 · 𝑘) = (2↑(𝑁 + 1)) ↔ ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ))
91	83, 90	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
92	91	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((2↑(𝑁 + 1)) / 8) ∈ ℤ)
93		nnz 11276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℤ)
95	92, 94	zmulcld 11364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ)
96	84	nnzi 11278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 8 ∈ ℤ
97		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ
98		8re 10982	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 8 ∈ ℝ
99		2lt8 11097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 8
100	97, 98, 99	ltleii 10039	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 2 ≤ 8
101		eluz2 11569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (8 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 8 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 8))
102	6, 96, 100, 101	mpbir3an 1237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ (ℤ≥‘2)
103		mulp1mod1 12573	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛) ∈ ℤ ∧ 8 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
104	95, 102, 103	sylancl 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) = 1)
105		1nn 10908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
106		prid1g 4239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ ℕ → 1 ∈ {1, 7})
107	105, 106	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 1 ∈ {1, 7})
108	104, 107	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) mod 8) ∈ {1, 7})
110	41, 109	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
111	110	ex 449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((8 · (((2↑(𝑁 + 1)) / 8) · 𝑛)) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
112	39, 111	sylbid 229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
113	112	3ad2antl1 1216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
114	113	imp 444	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7})
115		2lgs 24932	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
116	2, 115	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
117	116	3ad2ant2 1076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
118	117	ad2antrr 758	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) = 1 ↔ (𝑃 mod 8) ∈ {1, 7}))
119	114, 118	mpbird 246	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (2 /L 𝑃) = 1)
120	119	oveq1d 6564	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2 /L 𝑃) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
121		prmuz2 15246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
122		eluzelre 11574	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑃 ∈ ℝ)
123		eluz2gt1 11636	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 < 𝑃)
124	122, 123	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
125	121, 124	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃))
126		1mod 12564	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑃) → (1 mod 𝑃) = 1)
127	2, 125, 126	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (1 mod 𝑃) = 1)
128	127	3ad2ant2 1076	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (1 mod 𝑃) = 1)
129	128	ad2antrr 758	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → (1 mod 𝑃) = 1)
130	11, 120, 129	3eqtrd 2648	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)
131	130	ex 449	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
132	131	rexlimdva 3013	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑃 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1))
133	5, 132	mpd 15	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ 𝑃 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ((2↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ∖ cdif 3537  {csn 4125  {cpr 4127   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕcn 10897  2c2 10947  3c3 10948  7c7 10952  8c8 10953  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563   mod cmo 12530  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223   /_L clgs 24819  FermatNocfmtno 39977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380  df-lgs 24820  df-fmtno 39978

This theorem is referenced by:  fmtnoprmfac2  40017