Theorem decexp2 15617

Description: Calculate a power of two. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
decexp2.1	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
decexp2.2	⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁

Assertion

Ref	Expression
decexp2	⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Proof of Theorem decexp2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cn 10968	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℂ
2		2nn0 11186	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
3		decexp2.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4	2, 3	nn0expcli 12748	. . . . . 6 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℕ0
5	4	nn0cni 11181	. . . . 5 ⊢ (2↑𝑀) ∈ ℂ
6	1, 5	mulcli 9924	. . . 4 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
7		expp1 12729	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
8	1, 3, 7	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2)
9	5, 1	mulcomi 9925	. . . . . 6 ⊢ ((2↑𝑀) · 2) = (2 · (2↑𝑀))
10	8, 9	eqtr2i 2633	. . . . 5 ⊢ (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1))
11	10	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((2 · (2↑𝑀)) · 2) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
12	6, 1, 11	mulcomli 9926	. . 3 ⊢ (2 · (2 · (2↑𝑀))) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
13	4	decbin0 11558	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2 · (2 · (2↑𝑀)))
14		peano2nn0 11210	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
15	3, 14	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0
16		expp1 12729	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2))
17	1, 15, 16	mp2an 704	. . 3 ⊢ (2↑((𝑀 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑀 + 1)) · 2)
18	12, 13, 17	3eqtr4i 2642	. 2 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
19		4nn0 11188	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ0
20	19, 4	nn0mulcli 11208	. . . 4 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℕ0
21	20	nn0cni 11181	. . 3 ⊢ (4 · (2↑𝑀)) ∈ ℂ
22	21	addid1i 10102	. 2 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (4 · (2↑𝑀))
23	3	nn0cni 11181	. . . . 5 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
24		ax-1cn 9873	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	23, 24, 24	addassi 9927	. . . 4 ⊢ ((𝑀 + 1) + 1) = (𝑀 + (1 + 1))
26		df-2 10956	. . . . 5 ⊢ 2 = (1 + 1)
27	26	oveq2i 6560	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = (𝑀 + (1 + 1))
28		decexp2.2	. . . 4 ⊢ (𝑀 + 2) = 𝑁
29	25, 27, 28	3eqtr2ri 2639	. . 3 ⊢ 𝑁 = ((𝑀 + 1) + 1)
30	29	oveq2i 6560	. 2 ⊢ (2↑𝑁) = (2↑((𝑀 + 1) + 1))
31	18, 22, 30	3eqtr4i 2642	1 ⊢ ((4 · (2↑𝑀)) + 0) = (2↑𝑁)

Syntax hints:   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  4c4 10949  ℕ₀cn0 11169  ↑cexp 12722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-seq 12664  df-exp 12723

This theorem is referenced by: (None)