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Theorem clwwlkf 26322
 Description: Lemma 1 for clwwlkbij 26327: F is a function. (Contributed by Alexander van der Vekens, 27-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkbij.d 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
clwwlkbij.f 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
Assertion
Ref Expression
clwwlkf ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐷⟶((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
Distinct variable groups:   𝑤,𝐸   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑡,𝐷   𝑡,𝐸,𝑤   𝑡,𝑁   𝑡,𝑉   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤)   𝐹(𝑤,𝑡)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem clwwlkf
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6103 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → ( lastS ‘𝑤) = ( lastS ‘𝑡))
2 fveq1 6102 . . . . 5 (𝑤 = 𝑡 → (𝑤‘0) = (𝑡‘0))
31, 2eqeq12d 2625 . . . 4 (𝑤 = 𝑡 → (( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0) ↔ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)))
4 clwwlkbij.d . . . 4 𝐷 = {𝑤 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∣ ( lastS ‘𝑤) = (𝑤‘0)}
53, 4elrab2 3333 . . 3 (𝑡𝐷 ↔ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)))
6 nnnn0 11176 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 iswwlkn 26212 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
86, 7syl3an3 1353 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
9 iswwlk 26211 . . . . . . . . 9 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1093adant3 1074 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ↔ (𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
1110anbi1d 737 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 ∈ (𝑉 WWalks 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
128, 11bitrd 267 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))))
13 simpll 786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑡 ∈ Word 𝑉)
14 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
156, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
16 nnre 10904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
1716lep1d 10834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
18 elfz2nn0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
196, 15, 17, 18syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
21 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0...(#‘𝑡)) = (0...(𝑁 + 1)))
2221eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2322adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2423adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2520, 24mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
2613, 25jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡))))
27 swrd0len 13274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
2928ex 449 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
30293ad2antl2 1217 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
3130com12 32 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
32313ad2ant3 1077 . . . . . . . . . 10 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
3332imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
3433adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
35 swrdcl 13271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ Word 𝑉 → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
36353ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
3736ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
3837ad2antrl 760 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
39 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → ((#‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
4039oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^((𝑁 + 1) − 1)))
41 nncn 10905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
42 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
4341, 42pncand 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4443oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^((𝑁 + 1) − 1)) = (0..^𝑁))
4540, 44sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
4645raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
47 nnz 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
48 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
4947, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5016lem1d 10836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ≤ 𝑁)
51 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) ↔ ((𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ≤ 𝑁))
5249, 47, 50, 51syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)))
53 fzoss2 12365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑁 − 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
5554adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁))
56 ssralv 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0..^(𝑁 − 1)) ⊆ (0..^𝑁) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
58 simplr 788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑡 ∈ Word 𝑉)
5919adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
6022adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
6159, 60mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
6261ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)))
6354sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6463ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁)))
6564imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^𝑁))
66 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖) = (𝑡𝑖))
6766eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6858, 62, 65, 67syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡𝑖) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖))
6947ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → 𝑁 ∈ ℤ)
70 elfzom1elp1fzo 12402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
7169, 70sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁))
72 swrd0fv 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘(𝑖 + 1)))
7372eqcomd 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑡)) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^𝑁)) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7458, 62, 71, 73syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1)))
7568, 74preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))})
7675eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1))) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7776ralbidva 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7877biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
7978ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8079com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8157, 80syld 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8246, 81sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8382ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
8483com23 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
8584com14 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ Word 𝑉 → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))))
8685imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
87863adant1 1072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)))
8887imp 444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
8988com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
90893ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9190imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
9291ad2antrl 760 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
93 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1) = (𝑁 − 1))
9493oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 → (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 − 1)))
9695raleqdv 3121 . . . . . . . . . . 11 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
9792, 96mpbird 246 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸)
98 simprl2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑡 ∈ Word 𝑉)
9917ancli 572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1)))
10047peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
101 fznn 12278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 + 1) ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
102100, 101syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))))
10399, 102mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
1041033ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
105104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1)))
106 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (1...(#‘𝑡)) = (1...(𝑁 + 1)))
107106eleq2d 2673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
108107adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
109108adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)) ↔ 𝑁 ∈ (1...(𝑁 + 1))))
110105, 109mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡)))
11198, 110jca 553 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))))
112111adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))))
113 swrd0fvlsw 13295 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))) → ( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
114112, 113syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
115 swrd0fv0 13292 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑡 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (1...(#‘𝑡))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
116111, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
117116adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0) = (𝑡‘0))
118114, 117preq12d 4220 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)})
119 eqcom 2617 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) ↔ (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
120119biimpi 205 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = ( lastS ‘𝑡))
122 lsw 13204 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
1231223ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
124123ad2antrl 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)))
12639adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → ((#‘𝑡) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
127433ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
128126, 127sylan9eqr 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
129128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
130129fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘((#‘𝑡) − 1)) = (𝑡𝑁))
131121, 125, 1303eqtrd 2648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (𝑡‘0) = (𝑡𝑁))
132131preq2d 4219 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
13339, 43sylan9eq 2664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((#‘𝑡) − 1) = 𝑁)
134133oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0..^((#‘𝑡) − 1)) = (0..^𝑁))
135134raleqdv 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸))
136 fzo0end 12426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁))
137 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡𝑖) = (𝑡‘(𝑁 − 1)))
138 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑖 + 1) = ((𝑁 − 1) + 1))
139138fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 = (𝑁 − 1) → (𝑡‘(𝑖 + 1)) = (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)))
140137, 139preq12d 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑖 = (𝑁 − 1) → {(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))})
141140eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑖 = (𝑁 − 1) → ({(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸))
142141rspcva 3280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑁 − 1) ∈ (0..^𝑁) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
143136, 142sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸)
14441, 42npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
145144fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑡𝑁))
146145preq2d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} = {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)})
147146eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸 ↔ {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
148147biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
149148adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ({(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘((𝑁 − 1) + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
150143, 149mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)
151150ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
152151adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
153135, 152sylbid 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
154153ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)))
155154com3r 85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)))
1561553ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) → ((#‘𝑡) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)))
157156imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
158157com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
1591583ad2ant3 1077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸))
160159imp 444 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)
161160adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡𝑁)} ∈ ran 𝐸)
162132, 161eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {(𝑡‘(𝑁 − 1)), (𝑡‘0)} ∈ ran 𝐸)
163118, 162eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
164163adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)
16538, 97, 1643jca 1235 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸))
166 simpl 472 . . . . . . . . 9 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)
167165, 166jca 553 . . . . . . . 8 (((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁 ∧ (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
16834, 167mpancom 700 . . . . . . 7 ((((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ ((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1))) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0)) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
169168exp31 628 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 ≠ ∅ ∧ 𝑡 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘𝑡) − 1)){(𝑡𝑖), (𝑡‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘𝑡) = (𝑁 + 1)) → (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
17012, 169sylbid 229 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) → (( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))))
171170imp32 448 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁))
172 isclwwlkn 26297 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
1736, 172syl3an3 1353 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
174 isclwwlk 26296 . . . . . . . 8 ((𝑉𝑋𝐸𝑌) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
1751743adant3 1074 . . . . . . 7 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ↔ ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸)))
176175anbi1d 737 . . . . . 6 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ (𝑉 ClWWalks 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
177173, 176bitrd 267 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
178177adantr 480 . . . 4 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁) ↔ (((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) − 1)){((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘𝑖), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ ran 𝐸 ∧ {( lastS ‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)), ((𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)‘0)} ∈ ran 𝐸) ∧ (#‘(𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩)) = 𝑁)))
179171, 178mpbird 246 . . 3 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑡 ∈ ((𝑉 WWalksN 𝐸)‘𝑁) ∧ ( lastS ‘𝑡) = (𝑡‘0))) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
1805, 179sylan2b 491 . 2 (((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑡𝐷) → (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩) ∈ ((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
181 clwwlkbij.f . 2 𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝑡 substr ⟨0, 𝑁⟩))
182180, 181fmptd 6292 1 ((𝑉𝑋𝐸𝑌𝑁 ∈ ℕ) → 𝐹:𝐷⟶((𝑉 ClWWalksN 𝐸)‘𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  {cpr 4127  ⟨cop 4131   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ran crn 5039  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   ≤ cle 9954   − cmin 10145  ℕcn 10897  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ..^cfzo 12334  #chash 12979  Word cword 13146   lastS clsw 13147   substr csubstr 13150   WWalks cwwlk 26205   WWalksN cwwlkn 26206   ClWWalks cclwwlk 26276   ClWWalksN cclwwlkn 26277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-hash 12980  df-word 13154  df-lsw 13155  df-substr 13158  df-wwlk 26207  df-wwlkn 26208  df-clwwlk 26279  df-clwwlkn 26280 This theorem is referenced by:  clwwlkf1  26324  clwwlkfo  26325
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