Theorem fmtnofac1 40020

Description: Divisor of Fermat number (Euler's Result), see ProofWiki "Divisor of Fermat Number/Euler's Result", 24-Jul-2021, https://proofwiki.org/wiki/Divisor_of_Fermat_Number/Euler's_Result): "Let F_n be a Fermat number. Let m be divisor of F_n. Then m is in the form: k*2^(n+1)+1 where k is a positive integer." Here, however, k must be a nonnegative integer, because k must be 0 to represent 1 (which is a divisor of F_n ).

Historical Note: In 1747, Leonhard Paul Euler proved that a divisor of a Fermat number F_n is always in the form kx2^(n+1)+1. This was later refined to k*2^(n+2)+1 by François Édouard Anatole Lucas, see fmtnofac2 40019. (Contributed by AV, 30-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
fmtnofac1	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

Distinct variable groups:   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Proof of Theorem fmtnofac1

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn1uz2 11641	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ ↔ (𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
2		5prm 15653	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℙ
3		dvdsprime 15238	. . . . . . 7 ⊢ ((5 ∈ ℙ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
4	2, 3	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 ↔ (𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1)))
5		1nn0 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
6	5	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 1 ∈ ℕ0)
7		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → 𝑀 = 5)
8		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 1 → (𝑘 · 4) = (1 · 4))
9	8	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
10	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((1 · 4) + 1))
11	7, 10	eqeq12d 2625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 5 ∧ 𝑘 = 1) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 5 = ((1 · 4) + 1)))
12		df-5 10959	. . . . . . . . . 10 ⊢ 5 = (4 + 1)
13		4cn 10975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℂ
14	13	mulid2i 9922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · 4) = 4
15	14	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 = (1 · 4)
16	15	oveq1i 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4 + 1) = ((1 · 4) + 1)
17	12, 16	eqtri 2632	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 = ((1 · 4) + 1)
18	17	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 5 → 5 = ((1 · 4) + 1))
19	6, 11, 18	rspcedvd 3289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
20		0nn0 11184	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℕ0
21	20	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 0 ∈ ℕ0)
22		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → 𝑀 = 1)
23		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑘 · 4) = (0 · 4))
24	23	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
25	24	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → ((𝑘 · 4) + 1) = ((0 · 4) + 1))
26	22, 25	eqeq12d 2625	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = 1 ∧ 𝑘 = 0) → (𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1) ↔ 1 = ((0 · 4) + 1)))
27	13	mul02i 10104	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 · 4) = 0
28	27	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 · 4) + 1) = (0 + 1)
29		0p1e1 11009	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
30	28, 29	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 · 4) + 1) = 1
31	30	eqcomi 2619	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 = ((0 · 4) + 1)
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 1 → 1 = ((0 · 4) + 1))
33	21, 26, 32	rspcedvd 3289	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 1 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
34	19, 33	jaoi 393	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = 5 ∨ 𝑀 = 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))
35	4, 34	syl6bi 242	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
36		fveq2 6103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = (FermatNo‘1))
37		fmtno1 39991	. . . . . . . 8 ⊢ (FermatNo‘1) = 5
38	36, 37	syl6eq 2660	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (FermatNo‘𝑁) = 5)
39	38	breq2d 4595	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 5))
40		oveq1 6556	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = (1 + 1))
41		1p1e2 11011	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 + 1) = 2
42	40, 41	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 + 1) = 2)
43	42	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = (2↑2))
44		sq2 12822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2↑2) = 4
45	43, 44	syl6eq 2660	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = 1 → (2↑(𝑁 + 1)) = 4)
46	45	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑘 · 4))
47	46	oveq1d 6564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = ((𝑘 · 4) + 1))
48	47	eqeq2d 2620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
49	48	rexbidv 3034	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 1 → (∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1)))
50	39, 49	imbi12d 333	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)) ↔ (𝑀 ∥ 5 → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · 4) + 1))))
51	35, 50	syl5ibr 235	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
52		fmtnofac2 40019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
53		id 22	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℕ0)
54		2nn0 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
55	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℕ0)
56	53, 55	nn0mulcld 11233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
57	56	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · 2) ∈ ℕ0)
59		simpr 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1))
60		oveq1 6556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → (𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
61	60	oveq1d 6564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑛 · 2) → ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
62	59, 61	eqeqan12d 2626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) ∧ 𝑘 = (𝑛 · 2)) → (𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1) ↔ ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
63		eluzge2nn0 11603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64	63	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℂ)
65		add1p1 11160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
67	66	eqcomd 2616	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 2) = ((𝑁 + 1) + 1))
68	67	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2↑((𝑁 + 1) + 1)))
69		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℂ)
70		peano2nn0 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
71	63, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
72	69, 71	expp1d 12871	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑((𝑁 + 1) + 1)) = ((2↑(𝑁 + 1)) · 2))
73	54	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ∈ ℕ0)
74	73, 71	nn0expcld 12893	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℕ0)
75	74	nn0cnd 11230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
76	75, 69	mulcomd 9940	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2↑(𝑁 + 1)) · 2) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
77	68, 72, 76	3eqtrd 2648	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
78	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 2)) = (2 · (2↑(𝑁 + 1))))
79	78	oveq2d 6565	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
80		nn0cn 11179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 → 𝑛 ∈ ℂ)
81	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℂ)
82		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
83	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
84	81, 82, 83	mulassd 9942	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) = (𝑛 · (2 · (2↑(𝑁 + 1)))))
85	79, 84	eqtr4d 2647	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
86	85	3ad2antl1 1216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
87	86	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → (𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) = ((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))))
88	87	oveq1d 6564	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) = (((𝑛 · 2) · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
89	58, 62, 88	rspcedvd 3289	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
90	89	ex 449	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
91	90	rexlimdva 3013	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑛 · (2↑(𝑁 + 2))) + 1) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1)))
92	52, 91	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))
93	92	3exp 1256	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
94	51, 93	jaoi 393	. . 3 ⊢ ((𝑁 = 1 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
95	1, 94	sylbi 206	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))))
96	95	3imp 1249	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∥ (FermatNo‘𝑁)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 𝑀 = ((𝑘 · (2↑(𝑁 + 1))) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∃wrex 2897   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  ℕcn 10897  2c2 10947  4c4 10949  5c5 10950  ℕ₀cn0 11169  ℤ_≥cuz 11563  ↑cexp 12722   ∥ cdvds 14821  ℙcprime 15223  FermatNocfmtno 39977

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-prod 14475  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-odz 15308  df-phi 15309  df-pc 15380  df-lgs 24820  df-fmtno 39978

This theorem is referenced by: (None)