Theorem 5prm 15653

Description: 5 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
5prm	⊢ 5 ∈ ℙ

Proof of Theorem 5prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5nn 11065	. 2 ⊢ 5 ∈ ℕ
2		1lt5 11080	. 2 ⊢ 1 < 5
3		2nn 11062	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
4		2nn0 11186	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		1nn 10908	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ
6		2t2e4 11054	. . . . 5 ⊢ (2 · 2) = 4
7	6	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((2 · 2) + 1) = (4 + 1)
8		df-5 10959	. . . 4 ⊢ 5 = (4 + 1)
9	7, 8	eqtr4i 2635	. . 3 ⊢ ((2 · 2) + 1) = 5
10		1lt2 11071	. . 3 ⊢ 1 < 2
11	3, 4, 5, 9, 10	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ 2 ∥ 5
12		3nn 11063	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ
13		1nn0 11185	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14		3t1e3 11055	. . . . 5 ⊢ (3 · 1) = 3
15	14	oveq1i 6559	. . . 4 ⊢ ((3 · 1) + 2) = (3 + 2)
16		3p2e5 11037	. . . 4 ⊢ (3 + 2) = 5
17	15, 16	eqtri 2632	. . 3 ⊢ ((3 · 1) + 2) = 5
18		2lt3 11072	. . 3 ⊢ 2 < 3
19	12, 13, 3, 17, 18	ndvdsi 14974	. 2 ⊢ ¬ 3 ∥ 5
20		5nn0 11189	. . 3 ⊢ 5 ∈ ℕ0
21		5lt10 11553	. . 3 ⊢ 5 < ;10
22	3, 20, 20, 21	declti 11422	. 2 ⊢ 5 < ;25
23	1, 2, 11, 19, 22	prmlem1 15652	1 ⊢ 5 ∈ ℙ

Syntax hints:   ∈ wcel 1977  (class class class)co 6549  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  5c5 10950  ℙcprime 15223

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-inf 8232  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-seq 12664  df-exp 12723  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-dvds 14822  df-prm 15224

This theorem is referenced by:  prmo5  15674  4001prm  15690  lt6abl  18119  bpos1  24808  fmtno1prm  40009  fmtnofac1  40020  8gbe  40195  11gboa  40197  nnsum3primesle9  40210